Diga se as afirmativas abaixo são verdadeiras ou falsas.

I   Sejam U , W subespaços do espaço vetorial V . Então, a união U ∪ W é um subespaço de V se e somente se U ⊆ W .

I I Sejam W subespaço de V e u ∈ V . Então, o conjunto formado pelos vetores da forma w + a u , com w ∈ W e a ∈ R , é um subespaço de V .

( a ) Ambas são verdadeiras.

( b ) Ambas são falsas.

( c ) I I é verdadeira e I é falsa.

( d ) I é verdadeira e I I é falsa.

Passo 1

Vamos analisar a I

Lembra de quando eu falei que a união de subespaços só seria um subespaço vetorial se um subespaço contivesse o outro ou o outro contivesse o um? Então essa afirmativa ta quase certa. O único problema ta ali no “se e somente se”. De fato, U ∪ W é um subespaço de V se U ⊆ W , mas também é se W ⊂ U ! Então essa é falsa por causa daquele somente.

Passo 2

Agora a I I

Verdadeira! O que nós estamos fazendo é somar subespaços vetoriais! Repare que a u é uma reta que passa na origem, já que são todos os múltiplos de u . Já w está representando qualquer vetor de W ! Ou seja, estamos somando o subespaço W com outro subespaço formado pelo vetor u , o que também será um subespaço de V .

Resposta

Letra ( c )

Exercícios Resolvidos de União, Soma e Interseção de Subespaços Vetoriais

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