Exercícios Resolvidos de União, Soma e Interseção de Subespaços Vetoriais

Exercício 27 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 28 29 30 31 32 33

Enunciado

A2 T7

Diga se as afirmativas abaixo são verdadeiras ou falsas.

Sejam subespaços do espaço vetorial . Então, a união é um subespaço de se e somente se .

Sejam subespaço de e . Então, o conjunto formado pelos vetores da forma , com e , é um subespaço de .

Ambas são verdadeiras.

Ambas são falsas.

é verdadeira e é falsa.

é verdadeira e é falsa.

Passo 1

Vamos analisar a

Lembra de quando eu falei que a união de subespaços só seria um subespaço vetorial se um subespaço contivesse o outro ou o outro contivesse o um? Então essa afirmativa ta quase certa. O único problema ta ali no “se e somente se”. De fato, é um subespaço de se , mas também é se ! Então essa é falsa por causa daquele somente.

Passo 2

Agora a

Verdadeira! O que nós estamos fazendo é somar subespaços vetoriais! Repare que é uma reta que passa na origem, já que são todos os múltiplos de . Já está representando qualquer vetor de ! Ou seja, estamos somando o subespaço com outro subespaço formado pelo vetor , o que também será um subespaço de .

Resposta

Letra

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Dar um sistema de geradores para cada um dos seguintes subespaços do R 3 : U = x , y , x x - 2 y = 0 } V = x , y , x x + z = 0ex - 2 y = 0 } W = x , y , x x + 2 y - 3 z = 0 } U ∩ V V + W

5. Seja a n o número de sequências de “1” e “2” cuja soma dos termos é n. Provar que a n + 1 = a n + a n - 1 . Deduzir a expressão de a n .

Sejam B = { u 1 , u 2 , u 3 } e B ' = v 1 , v 2 , v 3 bases de um espaço vetorial V e P = 2 - 1 3 1 1 4 0 1 2 A matriz de transição de B ' para B Expresse v 1 , v 2 , v 3 como combinação linear de u 1

Sejam B = { u 1 → , u 2 → ,u 3 → } uma base de um espaço vetorial V e T : V → V um operador linear tal que: T B = - 3 4 7 1 0 - 2 0 1 0 Encontre T B ' , sendo B = v 1 → , v 2 → ,v 3 → a base de V defi