Sejam U e W subespaços do espaço vetorial V .

Se sabemos que U não está contido em W , nem W está contido em U , podemos afirmar que:

a   U ∩ W é um subespaço de V , mas U ∪ W não é um subespaço de V

b   U ∩ W é um subespaço de V e U ∪ W pode ser um subespaço de V

c   U ∩ W não é um subespaço de V e U ∪ W também não é um subespaço de V

d   U ∩ W é um subespaço de V e U ∪ W também é um subespaço de V

Passo 1

Suponha que eu tenho uma base { a → ,   b → ,   c → } para U e uma base { u → ,   b → ,   c → } para W , sendo a → e u → vetores L I , pra garantir que U e W são conjuntos diferentes.

Passo 2

A interseção entre os dois é o b → ,   c → , que é um subespaço vetorial, pois eu posso garantir todas as combinações lineares de { b → , c → } estão em U e também estão em W , assim todas as combinações lineares de { b → ,   c → } tem que estar em U ∩ W . Logo é um subespaço vetorial.

Passo 3

A união entre os dois é o espaço gerado por { a → ,   b → ,   c → } mais o espaço gerado por { u → ,   b → ,   c → } . Ou seja, qualquer vetor que seja combinação linear de a → está em U ∪ W , assim como qualquer vetor que seja combinação linear de u → . Mas o vetor m a → + n u → , ou seja o vetor que é combinação linear de a → e u → não pertence a U ∪ W .

Como que eu vejo que m a → + n u → não pertence a U ∪ W ? Pega um exemplo em que U é um plano ( x y , digamos) e V é outro plano ( x z , dessa vez). Então, uma combinação linear leva o vetor para fora dos DOIS planos, deixando ele lá no meio do R 3 , viu? =)

Então U ∪ W não é subespaço vetorial e obtemos a alterantiva ( a ) como resposta.

Resposta

Letra a .

Exercícios Resolvidos de União, Soma e Interseção de Subespaços Vetoriais

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