Dizemos que o subespaço é uma soma direta de e se .
Sabendo disto, considere os seguintes subespaços e do espaço vetorial .
O subespaço é uma soma direta?
Calcule a dimensão de .
Passo 1
Vamos começar achando uma base para cada um dos subespaços dados.
Os vetores de que pertencem a são do tipo:
Como a e b são números reais e os vetores (1,-1,1,2) e (1,1,1,1) são linearmente independentes (um não é múltiplo do outro), temos que todos os vetores de são combinações lineares desses dois vetores.
Então eles formam uma base para .
Temos então a base:
E:
Pois a base de só tem dois vetores.
Vamos fazer a mesma coisa pra .
Pelas restrições dadas no enunciado:
Então os vetores desse subespaço são do tipo:
De novo, os vetores são combinações lineares de (1,0,0,1) e (0,-1,1,1), que são LI, logo esses dois vetores formam base para
Temos a base:
E:
Passo 2
Precisamos verificar se é soma direta, então temos que ver a interseção dos subespaços.
Vamos então pegar um vetorzinho v que pertence a essa interseção.
Isso significa que v pertence a e a ao mesmo tempo, ou seja, v é ao mesmo tempo combinação linear dos vetores da base de e dos vetores da base de
Escrevendo isso:
Agora vamos achar os valores de que satisfazem essa relação.
Pela primeira e terceira equação:
Assim o sistema fica
Agora vamos somar a primeira com a segunda equação
Aí jogando na primeira equação
Assim finalmente chegamos em
E
Passo 3
E agora?
Bom, podemos escrever:
E lembra que esse vetor é cara da interseção?
Então acontece que a interseção não é vazia!
E a soma não é direta!
Passo 4
Pra determinar a dimensão de , vamos usar a fórmula:
Vimos lá no Passo 1 que:
E, pelo resultado do Passo 3, temos:
Substituindo esses valores na fórmula:
Resposta
não é soma direta.
Dim(