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Exercícios Resolvidos de União, Soma e Interseção de Subespaços Vetoriais

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Enunciado

USP, Álgebra Linear 2, 2020.1, P1, Q10

Considere os seguintes subespaços vetoriais de P 3 ( R ) :

V = p ∈ P 3 R   p ' 1 = p ( 2 ) }

E

W = [ 2 - x + x 3 ,   1 + x - 3 x 2 + x 3 ]

Uma base da interseção V ∩ W é:

Escolha uma opção:

  1. { 5 - 7 x + x 2 }
  2. { 2 - x 2 }
  3. { 1 + x - 6 x 2 + 2 x 3 ,   2 - x 2 }
  4. { 1 + 2 x 2 - x 3 ,   - 1 - 2 x - x 2 + x 3 }
  5. { - 4 - 7 x + 18 x 2 - 5 x 3 }

Passo 1

Faaala, pessoal! Primeirissimamente falando precisamos determinar uma base para V . Só então poderemos determinar os elementos geradores da interseção. Assim, seja g x = ∑ n = 0 3 a n x n ∈ V , então:

g ' 1 = g 2 ⇒ ∑ n = 0 3 n a n 1 n = ∑ n = 0 3 a n 2 n

⇒ a 1 + 2 a 2 + 3 a 3 = a 0 + 2 a 1 + 4 a 2 + 8 a 3

⇒ a 0 = - a 1 - 2 a 2 - 5 a 3

Assim, o polinômio g x ∈ V arbitrário é tal que:

g x = a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + ( - a 1 - 2 a 2 - 5 a 3 )

= a 3 x 3 - 5 + a 2 x 2 - 2 + a 1 ( x - 1 )

Tal que B = { x 3 - 5 ,   x 2 - 2 ,   x - 1 } é conjunto gerador. Como seus elementos são de graus distintos dois a dois, são L.I. e, portanto B é base de V .

Passo 2

Agora, considere um elemento p ∈ V ∩ W . Em função das bases, pode ser escrito como em uma única forma em cada uma delas:

p = a x 3 - 5 + b x 2 - 2 + c x - 1 = d 2 - x + x 3 + e (   1 + x - 3 x 2 + x 3 )

Da igualdade, temos:

a - d - e x 3 + b + 3 e x 2 + c + d - e x + - 5 a - 2 b - c - 2 d - e = 0

Pela identidade polinomial:

a - d - e = 0 b + 3 e = 0 c + d - e = 0 - 5 a - 2 b - c - 2 d - e = 0 ⇒ a = d + e b = - 3 e c = e - d - 5 d + e - 2 - 3 e - ( e - d ) - 2 d - e = 0

⇒ a = d + e b = - 3 e c = e - d - 6 d - e = 0 ⇒ a = - 5 d b = 18 d c = - 7 d e = - 6 d

Assim, qualquer polinômio   p ∈ V ∩ W pode ser descrito pela substituição das relações acima, como em:

p = d 2 - x + x 3 + e (   1 + x - 3 x 2 + x 3 )

= d 2 - x + x 3 + ( - 6 d ) (   1 + x - 3 x 2 + x 3 )

= d ( - 4 - 7 x + 18 x 2 - 5 x 3 )

Logo, o conjunto { - 4 - 7 x + 18 x 2 - 5 x 3 } é gerador da interseção, a independência linear é facilmente verificada de forma que esta é a base da interseção.

Resposta

e. { - 4 - 7 x + 18 x 2 - 5 x 3 }

Exercícios de Livros Relacionados

Dar um sistema de geradores para cada um dos seguintes subespaços do R 3 : U = x , y , x x - 2 y = 0 } V = x , y , x x + z = 0ex - 2 y = 0 } W = x , y , x x + 2 y - 3 z = 0 } U ∩ V V + W
5. Seja a n o número de sequências de “1” e “2” cuja soma dos termos é n. Provar que a n + 1 = a n + a n - 1 . Deduzir a expressão de a n .
Sejam B = { u 1 , u 2 , u 3 } e B ' = v 1 , v 2 , v 3 bases de um espaço vetorial V e P = 2 - 1 3 1 1 4 0 1 2 A matriz de transição de B ' para B Expresse v 1 , v 2 , v 3 como combinação linear de u 1
Sejam B = { u 1 → , u 2 → ,u 3 → } uma base de um espaço vetorial V e T : V → V um operador linear tal que: T B = - 3 4 7 1 0 - 2 0 1 0 Encontre T B ' , sendo B = v 1 → , v 2 → ,v 3 → a base de V defi
Sejam B = { u 1 , u 2 , u 3 } e B ' = v 1 , v 2 , v 3 bases de um espaço vetorial V e P = 2 - 1 3 1 1 4 0 1 2 A matriz de transição de B ' para B Expresse v 1 , v 2 , v 3 como combinação linear de u 1