Exercícios Resolvidos de União, Soma e Interseção de Subespaços Vetoriais

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Enunciado

Sejam U e W subespaços quaisquer do espaço vetorial V . Assinale a alternativa FALSA:

a   U ∪ W pode ser igual a V

b   0 ∈ U ∩ W

c   U ∩ W sempre é um subespaço de V

d   U ∪ W nunca é um subespaço de V

Passo 1

a Pode se U for o próprio V , por exemplo, e W for outra coisa qualquer.

b Sabemos que a interseção de subespaços é sempre um subespaço. E um subespaço sempre contém a origem. Logo, 0 ∈ U ∩ W .

c Sim, como falamos na b , a interseção de subespaços é sempre um subespaço.

d Nunca é uma palavra forte haha. Como falamos na letra a , se U for o próprio V , por exemplo, e W for outra coisa qualquer, teremos que U ∪ W = V . E como V é um subespaço de V , U ∪ W será um subespaço também. Essa é a falsa.

Resposta

Letra ( d )

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Dar um sistema de geradores para cada um dos seguintes subespaços do R 3 : U = x , y , x x - 2 y = 0 } V = x , y , x x + z = 0ex - 2 y = 0 } W = x , y , x x + 2 y - 3 z = 0 } U ∩ V V + W
5. Seja a n o número de sequências de “1” e “2” cuja soma dos termos é n. Provar que a n + 1 = a n + a n - 1 . Deduzir a expressão de a n .
Sejam B = { u 1 , u 2 , u 3 } e B ' = v 1 , v 2 , v 3 bases de um espaço vetorial V e P = 2 - 1 3 1 1 4 0 1 2 A matriz de transição de B ' para B Expresse v 1 , v 2 , v 3 como combinação linear de u 1
Sejam B = { u 1 → , u 2 → ,u 3 → } uma base de um espaço vetorial V e T : V → V um operador linear tal que: T B = - 3 4 7 1 0 - 2 0 1 0 Encontre T B ' , sendo B = v 1 → , v 2 → ,v 3 → a base de V defi
Sejam B = { u 1 , u 2 , u 3 } e B ' = v 1 , v 2 , v 3 bases de um espaço vetorial V e P = 2 - 1 3 1 1 4 0 1 2 A matriz de transição de B ' para B Expresse v 1 , v 2 , v 3 como combinação linear de u 1