Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Exercícios Resolvidos de União, Soma e Interseção de Subespaços Vetoriais

Ver Teoria
Exercício 251234567891011121314151617181920212223242627282930313233

Enunciado

A2 T5 T7

Seja W = x , y ∈ R 2 | x + 2 y = 0   o u   x - 2 y = 0 . Considere as afirmações:

  1. Se t ∈ R e v ∈ W então t v ∈ W .
  2. W é um subespaço vetorial de R 2 .

( a ) I I é verdadeira e I é falsa

( b ) Ambas são verdadeiras

( c ) I é verdadeira e I I é falsa

( d ) Ambas são falsas

Passo 1

Primeiro repare na definição do conjunto W ! Ta vendo aquele o u ali? Quer dizer que é a união de dois conjuntos! Poderíamos dizer por exemplo que W = V ∪ H , onde:

V = x , y ∈ R 2 x + 2 y = 0

H = x , y ∈ R 2 | x - 2 y = 0

Bom, vamos verificar se esse V e esse H são subespaços vetoriais então. Bom, o que são os conjuntos V e H ? São retas né! Mais especificamente são retas que passam na origem. E já sabemos que retas que passam na origem são subespaços vetoriais!

Passo 2

Afirmativa I :

Basicamente ele ta pedindo pra gente testar se W é fechado pra multiplicação por escalar né. Repare que W é a união de duas retas diferentes passando pela origem.

Pegar um vetor em W significa pegar um vetor de uma dessas retas. Quando multiplicamos por um escalar estamos obtendo um múltiplo desse vetor na mesma direção, ou seja, na mesma reta. Então sim, se multiplicarmos um vetor de W por um escalar teremos um vetor que também pertence a W .

Passo 3

Afirmativa I I :

Opa, essa faz uma afimação interessante. Ela diz que W é um subespaço vetorial de R 2 . Sabemos que a união de dois subespaços será um subespaço vetorial se, e somente se, um subespaço conitiver o outro. Ou seja, precisamos que:

V ⊂ H   o u   H ⊂ V

Mas como V e H são retas distintas obviamente um não contém o outro! Então W não é um subespaço. Essa é falsa!

Resposta

Letra ( c )

Exercícios de Livros Relacionados

Dar um sistema de geradores para cada um dos seguintes subespaços do R 3 : U = x , y , x x - 2 y = 0 } V = x , y , x x + z = 0ex - 2 y = 0 } W = x , y , x x + 2 y - 3 z = 0 } U ∩ V V + W
5. Seja a n o número de sequências de “1” e “2” cuja soma dos termos é n. Provar que a n + 1 = a n + a n - 1 . Deduzir a expressão de a n .
Sejam B = { u 1 , u 2 , u 3 } e B ' = v 1 , v 2 , v 3 bases de um espaço vetorial V e P = 2 - 1 3 1 1 4 0 1 2 A matriz de transição de B ' para B Expresse v 1 , v 2 , v 3 como combinação linear de u 1
Sejam B = { u 1 → , u 2 → ,u 3 → } uma base de um espaço vetorial V e T : V → V um operador linear tal que: T B = - 3 4 7 1 0 - 2 0 1 0 Encontre T B ' , sendo B = v 1 → , v 2 → ,v 3 → a base de V defi
Sejam B = { u 1 , u 2 , u 3 } e B ' = v 1 , v 2 , v 3 bases de um espaço vetorial V e P = 2 - 1 3 1 1 4 0 1 2 A matriz de transição de B ' para B Expresse v 1 , v 2 , v 3 como combinação linear de u 1