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Exercícios Resolvidos de União, Soma e Interseção de Subespaços Vetoriais

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Enunciado

USP, 2019, PSUB, 10

Considere os subespaços vetoriais

S 1 = a i j   ∈ M 3 R   :   a i j = 0 ,   s e   i < j     e

S 2 = A ∈ M 3 R   : t r   A = 0

Do espaço vetorial M 3 R , em que t r   ( A ) denota o traço da matriz A, isso é, a soma das entradas na diagonal principal de A. Então, a dimensão do subespaço vetorial S 1 ∩ S 2 é

A   4

B   7

C   6

D   3

E   5

Passo 1

Faaaaalaaa, blzz??? Bora para mais uma questãozinha envolvendo subespaços vetoriais

Bom, para começar, como nossos espaços fazem parte de M 3 ( R ) , ou seja, do espaço das matrizes 3 por 3 com entradas reais, sabemos que os elementos de S 1 e S 2 são matrizes 3x3. Bora escrever como que é a cara dessas matrizes?

B ∈ S 1   → B =   a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33

Porém, veja que como B   ∈ S 1 , temos que a i j = 0 ,   s e   i < j , vamos reescrever nossa matriz B usando isso?

B =   a 11 0 0 a 21 a 22 0 a 31 a 32 a 33

Agora já sabemos a cara de alguém de S 1 , bora fazer o mesmo para o outro espaço:

C ∈ S 1   → C =   b 11 b 12 b 13 b 21 b 22 b 23 b 31 b 32 b 33

Mas como C   ∈ S 1 , temos que : t r   A = 0 , ou seja b 11 + b 22 + b 33 = 0 , o que nos dá que:

b 11 =   - b 22 - b 33 . Reescrevendo nossa matriz C:

C =   - b 22 - b 33 b 12 b 13 b 21 b 22 b 23 b 31 b 32 b 33

Passo 2

Bora continuar, agora que ficou mais fácil enxergar o problema. Primeiro vamos notar que a questão nos pergunta sobre a dimensão de S 1 ∩ S 2 , o que podemos fazer para achar isso? Bom, primeiro para entender sobre a dimensão de alguém, bora entender quem é esse alguém, né?

Bora analisar S 1 ∩ S 2 :

D ∈ S 1 ∩ S 2 então ela possui a propriedade de cada subespaço, ou seja, a galera na parte superior é zero e a soma do traço é zero, então ela é da forma:

D =   - c 22 - c 33 0 0 c 21 c 22 0 c 31 c 32 c 33

Passo 3

E agora vamos pensar no que fazer

Vale lembrar que a dimensão de um subespaço está ligada com a quantidade de vetores L.I da base do espaço.

Além disso, todo vetor desse subespaço é escrito como combinação linear desses caras da base, ou seja, a motivação nessa questão é descobrir de quem essa matriz D é combinação linear.

D =   - c 22 - c 33 0 0 c 21 c 22 0 c 31 c 32 c 33 =

=   c 22   - 1 0 0 0 1 0 0 0 0 + c 33 - 1 0 0 0 0 0 0 0 1 + c 21 0 0 0 1 0 0 0 0 0 + c 31 0 0 0 0 0 0 1 0 0 + c 32 0 0 0 0 0 0 0 1 0 +

+   c 33 0 0 0 0 0 0 0 0 1

E aqui acaba nosso problema, pois se D é uma matriz qualquer do subespaço estudado e descobrimos que D é combinação linear do conjunto:

B   =   - 1 0 0 0 1 0 0 0 0 , - 1 0 0 0 0 0 0 0 1 , 0 0 0 1 0 0 0 0 0 , 0 0 0 0 0 0 1 0 0   , 0 0 0 0 0 0 0 1 0 , 0 0 0 0 0 0 0 0 1

Ou seja, pelo o que já foi dito, podemos dizer que dim ⁡ S 1 ∩ S 2   = quantidade de vetores de B, que é igual a 6

E assim termina mais um probleminha da prova. Essa questão exige que a gente tenha em mente uma forma de descobrir a dimensão de um espaço e o jeito que fizemos aqui é um dos mais comuns, você só escreve um cara qualquer do espaço e descobre de quem que ele é combinação, uma ideia importante de ter guardada. Agora bora para a próxima questão??

Resposta

Letra C

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Dar um sistema de geradores para cada um dos seguintes subespaços do R 3 : U = x , y , x x - 2 y = 0 } V = x , y , x x + z = 0ex - 2 y = 0 } W = x , y , x x + 2 y - 3 z = 0 } U ∩ V V + W
5. Seja a n o número de sequências de “1” e “2” cuja soma dos termos é n. Provar que a n + 1 = a n + a n - 1 . Deduzir a expressão de a n .
Sejam B = { u 1 , u 2 , u 3 } e B ' = v 1 , v 2 , v 3 bases de um espaço vetorial V e P = 2 - 1 3 1 1 4 0 1 2 A matriz de transição de B ' para B Expresse v 1 , v 2 , v 3 como combinação linear de u 1
Sejam B = { u 1 → , u 2 → ,u 3 → } uma base de um espaço vetorial V e T : V → V um operador linear tal que: T B = - 3 4 7 1 0 - 2 0 1 0 Encontre T B ' , sendo B = v 1 → , v 2 → ,v 3 → a base de V defi
Sejam B = { u 1 , u 2 , u 3 } e B ' = v 1 , v 2 , v 3 bases de um espaço vetorial V e P = 2 - 1 3 1 1 4 0 1 2 A matriz de transição de B ' para B Expresse v 1 , v 2 , v 3 como combinação linear de u 1