Considere os subespaços de R 4 definidos por:

S 1 = 1 , - 1,1 , 1 ,   2,2 , - 1,1               e               S 2 = [ 0,1 , 3,0 ,   ( - 3 ,   0 ,   3 ,   - 2 ) ]

Se x , y , z ∈ R forem tais que ( 3 , x , y , z ) pertence à interseção S 1 ∩ S 2 , então x + y + z será igual a:

Escolha uma opção:

  1. 0
  2. 3
  3. 2
  4. 4
  5. 1

Passo 1

Faaaala, pessoal. Como 3 , x , y , z ∈ S 1 ∩ S 2 , podemos escrevê-lo tanto como combinação dos vetores geradores de S 1 como daqueles de S 2 . Isto é, existem a , b , c , d ∈ R , tais que:

3 , x , y , z ( 1 ) =   a 1 , - 1,1 , 1 + b   2,2 , - 1,1 ( 2 ) =   c 0,1 , 3,0 + d   ( - 3 ,   0 ,   3 ,   - 2 )

Tomando as coordenadas uma a uma na primeira igualdade, temos:  

3 = a + 2 b x = - a + 2 b y = a - b z = a + b ⇒ x + 3 = 4 b 3 - x = 2 a   b = - y + z 2 a = y + z 2 ⇒ a = y + z 2 = 3 - x 2 b = - y + z 2 = x + 3 4 ⇒ x + y + z = 3 x + 2 y - 2 z = - 3       ( 1 )

Como não há alternativa que possibilite a interseção ser vazia, supomos que esta não seja de forma que não é preciso resolver a equação ( 2 ) para determinar:

x + y + z = 3

Resposta

b. 3

Exercícios Resolvidos de União, Soma e Interseção de Subespaços Vetoriais

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