UFPE – Álgebra Linear – 2020.1 – 1° exercício escolar – 4
Sejam H1 = {(x, y, z) ∈ R3|x − 2y − 3z = 0} e H2 = {(x, y, z) ∈ R3|y = −x; z = x} dois subespaços de R3.
a) Encontrar uma base para H1 e H2 e determinar dimH1 e dimH2.
b) Determine H1⋂H2.
c) Determine H1 + H2.
d) Formar uma base de R3 usando vetores de H1 e H2.
Passo 1
Opa galeeeeera! Hoje vamos bagunçar uns subespaços.
a) vamos encontrar uma base para cada um dos espaços, para isto vamos procurar a solução da equação que o define o subespaço :
Assim podemos encontrar a forma genérica de um vetor que pertence a este subespaço:
Como temos 2 variáveis vamos quebrar esse vetor em 2 cada um com sua respectiva variável para encontrarmos a base:
Assim encontramos o vetor da base de
Como a base tem 2 vetores podemos encontrar a sua dimensão:
Já que o último vetor se tornou um vetor nulo ele é combinação linear dos primeiros, o conjunto de vetores não é linearmente independente.
Passo 2
Agora vamos procurar a forma genérica de um vetor que pertence ao subespaço :
Podemos dizer que:
Assim o vetor genérico será:
Assim a base deste subespaço vetorial será:
Como a base só tem um vetor a dimensão do subespaço será:
Passo 3
B) Vamos determinar a interseção entre e , para isto vamos igualar o spam das bases:
Vamos ver se isto é possível:
Precisaríamos que , isso é possível já que eles podem ser qualquer numero.
E ainda precisaríamos que .
Portanto a interseção entre e é o próprio .
Passo 4
C) Como acabamos de ver que a interseção entre e é , a união entre eles seria o próprio já que o não adiciona nenhum novo vetor.
Passo 5
Para formar uma base do precisamos de 3 vetores LI, mas como a dimensão do subespaço é 2, e ele engloba todo o subespaço não é possível formar uma base do pois só conseguimos encontrar 2 vetores LI em um subespaço de segunda dimensão.
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)