UFES, Álgebra Linear, P3 Manhã, 2017.2 - Questão 3b
Seja o plano de formado pelos vetores que satisfazem
b) Determina os geradores de
Passo 1
Faaala, vamos lá pra mais uma!!
Antes de qualquer coisa:
Temos um subespaço formado por vetores , mas esses vetores cumprem com a condição de que
Ou seja:
Opa, então já sabemos que os vetores desse subespaço podem ser escritos assim:
Ou seja, o subespaço é gerado pelos vetores:
Passo 2
Os vetores que encontramos no passo 1 formam a base do subespaço :
E aí nesse item, queremos encontrar uma base pro complemento ortogonal de , ou seja, uma base de
Primeiramente, para encontrarmos a base de vamos lembrar que seus elementos devem ser ortogonais aos elementos da base
Ou seja: um vetor de deve ter o produto interno igual a com os elementos da base , bora lá!
Passo 3
Vamos chamar de um vetor de , queremos que esse vetor seja ortogonal aos elementos da base , ou seja:
Desenvolvendo a equação :
E desenvolvendo a equação :
Então, um vetor do complemento ortogonal pode ser escrito assim:
Logo, uma base para é
No caso, o gerador de é o vetor
Detalhe importante: a soma da dimensão de com a dimensão do seu complemento ortogonal, sempre deve dar o tamanho da dimensão que estamos trabalhando, no caso, o
Repara que faz sentido: tem dimensão 2 enquanto tem dimensão 1
Sucesso!!