Seja o espaço vetorial das matrizes 2 x 2 com produto interno canônico. Considere os subespaços vetoriais.
e
a) Encontrar uma base de e de .
Passo 1
A primeira coisa que vamos fazer, é descobrir quais são os geradores de . Vamos nessa?
Pelo enunciado, nós temos que ou seja: .
Sendo assim, podemos escrever que:
Portanto, .
Passo 2
Ok, agora que já temos os geradores de , vamos encontrar a base para
A soma é dada pela combinação linear de todos os vetores que geram e .
Mas, muita hora nessa calma!
A , e a base acima tem dimensão 5. Ou seja, algo errado não está certo haha
Como a gente conserta isso?
Precisamos escolher 4 matrizes LI.
Se você observar direitinho, vai ver que a gente pode escrever uma das matrizes como combinação linear das outras. Dessa forma:
Tranquilo?
Sendo assim, a nossa base para será:
Passo 3
Vamos calcular agora uma base para .
As matrizes da interseção necessariamente vão pertencer a e . Sendo assim, basta usarmos que:
Daí, teremos:
Usando (II) e (III) , teremos que . Ou seja, as matrizes ficarão da seguinte forma:
Portanto, a base para a interseção será:
Resposta
a) e