Sejam U e V subespaços vetoriais de R n , com U   ≠ R n e   V ≠ R n . Qual opção abaixo não pode acontecer?  

(a)   U   ∪   V = V  

(b) U   ∩   V   =   { 0 → }

(c) U   ∩   V   =   V

(d) U   ∪   V   = R n

Passo 1

Primeiramente vamos deixar bem definido na nossa cabeça que soma é diferente de união!

Quando somamos dois subespaços, pegamos todos os elementos de um deles e somamos com todos os elementos do outro. Assim, a soma U + V poderia resultar o R n .

Mas na união não somamos cada elemento de cada subespaço, apenas juntamos os espaços.

Passo 2

Então por exemplo, se U   for uma reta em R 2 e V também for uma reta em R 2 ,   vamos ter o seguinte como U + V :

A soma dos subespaços nesse caso vai ser o espaço que obtemos juntando a base de U com a base de V, no caso vai ser o próprio R 2 .

Mas a união vai ficar assim:

E duas retas separadas assim, nunca vai ser um subespaço vetorial, muito menos o R 2 .

Assim conseguimos provar que a letra d) é a alternativa impossível de acontecer.

Resposta

d

Exercícios Resolvidos de União, Soma e Interseção de Subespaços Vetoriais

Ver Teoria

Exercícios de Livros Relacionados