A1 T2 T17 A2 T6 T8
Em , sejam o subespaço gerado pelos vetores , , , e o subespaço dado pelo conjunto solução do seguinte sistema linear homogêneo:
Encontre um sistema linear homogêneo nas variáveis , , , , que tenha como conjunto solução. Justifique.
Encontre uma base para a interseção .
Passo 1
Pela posição dos zeros dá pra ver que os geradores de que ele deu pra gente são e, portanto, uma base. Se não tiver confiante pode escalonar eles pra ter certeza! Com isso, tem dimensão .
Queremos um sistema linear homogêneo nas variáveis , , , , que tenha como conjunto solução. Pra começo de conversa quantas equações queremos? Precisamos de equações concorda? Assim teremos variáveis e equações, o que nos deixa com variáveis livres, e portanto um conjunto solução de dimensão !
Qualquer vetor de pode ser escrito como:
Fazendo :
Fazendo :
Fazendo :
Fazendo :
Calma que tá acabando haha. Agora fazemos :
E por último, :
E pronto, achamos nosso sistema:
Podemos somar as duas equações pra simplificar um pouco as coisas:
Aí ficamos com o sistema:
Passo 2
A interseção será o conjunto solução do sistema que se obtêm ao juntar as equações que definem com as equações que definem ! Entao:
A matriz aumentada que representa esse sistema é:
Voltando pra forma de sistema:
De :
De :
De :
De :
Temos então que:
Então uma base para a interseção é:
Resposta