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Exercícios Resolvidos de União, Soma e Interseção de Subespaços Vetoriais

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Enunciado

USP, 2019, PSUB, 11

Em P 4 R , considere os subespaços vetoriais V = 1 , t 2 , t 3 , t 4 e W = p ∈ P 4 R   : p 1 = 0 . Então,

a ) dim ⁡ V > dim ⁡ W   e V + W = P 4 ( R )

b ) dim ⁡ V > dim ⁡ W   e dim ⁡ V ∩ W = 1

c ) dim ⁡ V = dim ⁡ W e V + W = P 4 ( R )

d )   V = W

e ) dim ⁡ V = dim ⁡ W e dim ⁡ V ∩ W = 1

Passo 1

Falaaaa, tranquilo?? Bora para mais um probleminha dessa prova, agora envolvendo, novamente, a dimensão de subespaços.

Bom, primeiro vamos notar que todas alternativas, de certa forma, falam sobre a dimensão dos subespaços V e W. Bora deixar claro quem são essas dimensões?

dim ⁡ V = 4 , pois V é gerado por 4 elementos ( 1 , t 2 , t 3 , t 4 ), essa é mais fácil, mas e a outra dimensão? Bom, para descobrir a dimensão de W, faremos um processo parecido com a última questão, vamos pegar um cara de W e ver quem que gera ele.

Se p   ∈ W ele é da forma:

p x = a x 4 + b x 3 + c x 2 + d x + e

Porém, com o fato de p 1 = 0 , ou seja:

a + b + c + d + e = 0

E, daqui, temos que e = - a - b - c - d

Logo, podemos reescrever nosso p da seguinte forma:

p x = a x 4 + b x 3 + c x 2 + d x - a - b - c - d

p x = a x 4 - 1 + b x 3 - 1 + c x 2 - 1 + d ( x - 1 )

Ou seja, como p é combinação linear dos vetores de x 4 - 1 , x 3 - 1 , x 2 - 1 , ( x - 1 ) , podemos dizer que W possui dimensão 4.

Passo 2

Então vamos lá, já sabemos que:

dim ⁡ V = dim ⁡ W = 4

Com isso já sabemos que a resposta é C,D ou E. Mas a letra C não pode ser, pois veja que um vetor de W é da forma:

p x = a x 4 + b x 3 + c x 2 + d x - a - b - c - d

Ou seja, possui termo com grau 1 ( d x ) , porém como V = 1 , t 2 , t 3 , t 4 , temos que V não possui esse tipo de termo, logo não são iguais. Sobrando assim letras C e D.

Veja que elas falam sobre V + W e V ∩ W , isso te faz lembrar algo? Alguma equação que relaciona ambos?

dim ⁡ V + W = dim ⁡ V + dim ⁡ W - dim ⁡ V ∩ W

Ou seja, para descobrir os dois basta achar um deles, pois essa equação nos daria o outro. Eu pessoalmente prefiro analisar V ∩ W , acho mais fácil, bora fazer isso?

Passo 3

Então vamos lá, temos que p x ∈ V ∩ W se ele é gerado por 1 , t 2 , t 3 , t 4 e tem seu p 1 = 0 , ou seja:

p x = a x 4 + b x 3 + c x 2 + d

Mas:

p 1 = a + b + c + d = 0

Ou seja, temos que d = - a - b - c , reescrevendo nosso p x :

p x = a x 4 + b x 3 + c x 2 - a - b - c = a x 4 - 1 + b x 3 - 1 + c ( x 2 - 1 )

Logo, como p x = x 4 - 1 , x 3 - 1 , ( x 2 - 1 ) , dizemos que dim ⁡ V ∩ W = 3

Já fica claro que não é a letra D, né?? Agora vamos torcer para que seja a letra C, para isso vamos colocar na equaçãozinha la de cima:

dim ⁡ V + W = dim ⁡ V + dim ⁡ W - dim ⁡ V ∩ W

Ou seja:

dim ⁡ V + W = 4 + 4 - 3 = 5

E graças aos deuses da matemática deu tudo certo

Pois V + W   é um subespaço de P 4 ( R ) , porém é um subespaço com a mesma dimensão dele, ou seja, é o próprio P 4 ( R ) .

Resposta

Letra C

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Dar um sistema de geradores para cada um dos seguintes subespaços do R 3 : U = x , y , x x - 2 y = 0 } V = x , y , x x + z = 0ex - 2 y = 0 } W = x , y , x x + 2 y - 3 z = 0 } U ∩ V V + W
5. Seja a n o número de sequências de “1” e “2” cuja soma dos termos é n. Provar que a n + 1 = a n + a n - 1 . Deduzir a expressão de a n .
Sejam B = { u 1 , u 2 , u 3 } e B ' = v 1 , v 2 , v 3 bases de um espaço vetorial V e P = 2 - 1 3 1 1 4 0 1 2 A matriz de transição de B ' para B Expresse v 1 , v 2 , v 3 como combinação linear de u 1
Sejam B = { u 1 → , u 2 → ,u 3 → } uma base de um espaço vetorial V e T : V → V um operador linear tal que: T B = - 3 4 7 1 0 - 2 0 1 0 Encontre T B ' , sendo B = v 1 → , v 2 → ,v 3 → a base de V defi
Sejam B = { u 1 , u 2 , u 3 } e B ' = v 1 , v 2 , v 3 bases de um espaço vetorial V e P = 2 - 1 3 1 1 4 0 1 2 A matriz de transição de B ' para B Expresse v 1 , v 2 , v 3 como combinação linear de u 1