Exercícios Resolvidos de União, Soma e Interseção de Subespaços Vetoriais

Enunciado

(a) Foi dado que:

Então, os vetores de W satisfazem:

Da primeira equação, tiramos que:

Substituindo na segunda equação, vemos que:

Da última equação:

Reescrevendo os vetores de W usando essas relações, ficamos com:

Vamos separar esses vetores em dois, um que só contém os termos com y e outro que só contém termos em s.

Vamos ter:

Note que não alteramos nada, pois somando esses dois vetores voltamos ao que tínhamos antes!!

Colocando as variáveis pra fora dos vetores:

Como os vetores estão sendo escrito como combinações de e , uma base para os vetores de W é:

(b) Os vetores de são vetores que pertencem a U e a W ao mesmo tempo, ou seja:

Então esses vetores podem ser escritos como combinação linear de vetores de U e W.

Usando a base para W encontrada no item anterior, podemos escrever:

Isso dá o sistema linear:

Somando as duas primeiras equações, vamos ter:

Como na quarta equação temos:

A única forma de essas duas relações serem satisfeitas ao mesmo tempo é se:

Substituindo na terceira equação, temos:

Então, o único vetor que pertence aos dois subespaços ao mesmo tempo é o vetor nulo:

Logo:

E a dimensão desse conjunto é 0.

Portanto, a soma U+W é direta.

Então, vamos ver se conseguimos escrever o vetor como combinação linear de vetores de U e W.

Mais uma vez usando a base obtida para W no item (a), queremos obter valores de a, b, c e d tais que:

Ficamos então com:

Somando as duas primeiras equações:

Substituindo na quarta equação:

Pela relação anterior:

Substituindo os valores de b e c na primeira equação:

Por último, pela última equação, temos:

Então, como conseguimos escrever como CL dos vetores de U e W, esse vetor pertence a U+W.

(a)

(b) e a soma é direta.