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Exercícios Resolvidos de Caso Vetorial no R³

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Enunciado

Origem do Exercício

Calcular ∫ C F →   d r → em que r é a hélice definida por r t = sen ⁡ t , cos ⁡ t , t , t ∈ [ 0,2 π ] e F → o campo vetorial definido por F → x , y , z = ( x , y , z ) .

(a) 3 π 2

(b) 2 π 2

(c) 2 π 3

(d) π 2

(e) 2 π

Passo 1

Ok, temos uma questão clássica de integral de linha. Só recapitulando: a ideia aqui é integrar aquele campo vetorial ao longo do caminho r :

∫ C   F →   d r →

Beleza, vamos escrever essa integral de forma que a gente possa resolvê-la. Já que nós vamos calcular o campo F → só em pontos que estão na hélice r , a gente pode escrever o F desse jeito aqui:

  F → r t = ( sin ⁡ t , cos ⁡ t , t )

Já que   F → = ( x , y , z ) . Agora a integral fica assim:

∫ C   F → r t d r →

Passo 2

Mas agora o campo vetorial ficou em função de t , então vamos dividir e multiplicar a integral por d t :

∫ C   F → r t d r → d t d t

E podemos calcular esse d r → / d t   :

d r → d t = d d t sen ⁡ t , d d t cos ⁡ t , d d t t = cos ⁡ t , - sen ⁡ ( t ) , 1

E como o enunciado diz que t varia de 0 a 2 π :

∫ 0 2 π F → r t d r → d t d t

Passo 3

Substituindo as expressões que nós encontramos:

∫ 0 2 π ( sen ⁡ t , cos ⁡ t , t ) . cos ⁡ t , - sen ⁡ ( t ) , 1   d t

Beleza, isso é um produto escalar entre dois vetores, de forma que a integral vai ficar assim:

∫ 0 2 π ( sen ⁡ t cos ⁡ t - sen ⁡ t cos ⁡ t + t ) d t

∫ 0 2 π ( t ) d t = 2 π 2 2 - 0 2 2 = 2 π 2

Pronto, esse é o valor da integral que foi pedida!

Resposta

Letra (b)

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Nos exercícios 18 a 25, calcular as integrais curvilíneas dadas:24. ∫ C y d x + z d y - x y d z , onde C é dada por y = s e nx ; z = 4 ; x ∈ [ 0,2 π ] .
Nos exercícios 18 a 25, calcular as integrais curvilíneas dadas:22. ∫ C d x + d y + d z , onde C é a intersecção das superfícies y + z = 5 e z = 4 - x 2 do ponto A ( 2 ,5 ,0 ) ao ponto B ( - 2 ,5 ,0 )
Calcule ∫ γ d x + x y d y + zd z , onde γ é a interseção de x 2 + y 2 + z 2 = 2 ,x ≥ 0 ,y ≥ 0 e z ≥ 0 , com o plano y = x ; o sentido do percurso é do ponto 0,0 , 2 para 1,1 , 0 .
Calcule a integral de linha ∫ C F → ∙ d r → , onde C é dada pela função vetorial r → t . F → x ,y = x + yi ^ + y - z j ^ + z 2k ^ r → t = t 2i ^ + t 3j ^ + t 2k ^ , 0 ≤ t ≤ 1
Determine uma função f tal que F → = ∇ f e Use a parte (a) para calcular ∫ C F → ⋅ d r → sobre a curva C dada. F → x , y = y 2 c o s c o szi → + 2 x y c o szj → - x y 2 s e nz k → ,C : r → t = t 2 i →