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Exercícios Resolvidos de Caso Vetorial no R³

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Enunciado

Stewart, James. Cálculo, volume 2, ed 7ª – Capítulo 16 – Seção 2 – Questão 10

Calcule a integral de linha, onde C é a curva dada.

∫ C x y z 2 d s   ,                     C   é   o   s e g m e n t o   d e   r e t a   d e   - 1 ,   5 ,   0   a   ( 1 ,   6 ,   4 )

Passo 1

Meu pequeno Padawan, venha para o caminho da luz da força para resolver essa integral de linha da forma mais tranquila de toda a galáxia!

Nosso primeiro passo no caminho Jedi é buscar no enunciado a integral que estamos interessados:

∫ C x y z 2 d s

Beleza, mas a parametrização da curva é dada por:

C   é   o   s e g m e n t o   d e   r e t a   d e   - 1 ,   5 ,   0   a   ( 1 ,   6 ,   4 )

Vamos lembrar como descobrimos o valor de x , y e z de uma forma bem simples:

x = x 0 + x f - x 0 ⋅ t

Substituindo os valores do ponto inicial x 0 e o ponto final x f :

x = - 1 + 1 - - 1 ⋅ t

x = 2 t - 1

Partindo para a coordenada y :

y = y 0 + y f - y 0 ⋅ t

Substituindo o valor inicial, y 0 e final, y f :

y = 5 + 6 - 5 ⋅ t

y = 5 + t

Por último o valor de z :

z = z 0 + z f - z 0 ⋅ t

Fazendo a útima substituição:

z = 0 + 4 - 0 ⋅ t

z = 4 t

Olhando com mais carinho para o valor de z :

z = 4 t

Podemos reescrever o valor de t como:

t = z 4

Lá no enunciado o ponto inicial e o ponto final de z são:

z f = 4

z 0 = 0

Então o intervalo de z é:

0 ≤ z ≤ 4

Como já falamos que:

z 4 = t

Mudando para a variável t :

0 4 ≤ z 4 = t ≤ 4 4

Então o intervalo de t é:

0 ≤ t ≤ 1

Logo, nosso problema inicial:

∫ C x y z 2 d s

Ao substituirmos os valores dados pela curva para x , y e z :

x = 2 t - 1

y = 5 + t

z = 4 t

Nossa integral se torna:

∫ C x y z 2 d s =   ∫ C 2 t - 1 ⋅ 5 + t ⋅ 4 t 2 d s

E como nosso intervalo de integração é:

0 ≤ t ≤ 1

Nossa integral é atualizada para:

∫ 0 1 2 t - 1 ⋅ 5 + t ⋅ 4 t 2 d S

Agora vamos resolver isso ai!

Passo 2

Primeira coisa que faremos para resolver essa integral, vamos encontar o valor de d S através das derivadas:

d s = d x d t 2 + d y d t 2 + d z d t 2   d t

Substituindo os valores de x , y e z na nossa derivada:

x = 2 t - 1

y = 5 + t

z = 4 t

Ela se torna:

d s = d 2 t - 1 d t 2 + d 5 + t d t 2 + d 4 t d t 2   d t

d S = 2 2 + 1 2 + 4 2   d t = 21   d t

Juntando todas essas informações, podemos escrever:

∫ C x y z 2 d s   = ∫ 0 1 2 t - 1 ⋅ 5 + t ⋅ 4 t 2 ⋅ 21   d t

Fazendo o produto entre os elementos internos a integral, ficamos com:

2 t - 1 ⋅ 5 + t ⋅ 4 t 2 = 10 t - 5 + 2 t 2 - t ⋅ ( 16 t 2 )

2 t 2 + 9 t - 5 ⋅ 16 t 2 = 32 t 4 + 144 t 3 - 80 t 2

Então voltando a nossa integral, temos que resolver:

∫ C x y z 2 d s   = ∫ 0 1 21   32 t 4 + 144 t 3 - 80 t 2   d t

Passo 3

Agora vamos resolver a integral obtida:

∫ C x y z 2 d s   = ∫ 0 1 21   32 t 4 + 144 t 3 - 80 t 2   d t

Como temos um polinômio dentro da integral vamos somar 1 ao expoente e dividir aquela parcela pelo mesmo valor:

∫ C x y z 2 d s   = ∫ 0 1 21   32 t 4 + 144 t 3 - 80 t 2   d t = 21 32 t 5 5 + 144 t 4 4 - 80 t 3 3 0 1

Substituindo os valores do intervalo de integração:

∫ C x y z 2 d s   = 21 32 t 5 5 + 36 t 4 - 80 t 3 3 0 1

Temos:

∫ C x y z 2 d s   = 21 32 ⋅ 1 5 5 + 36 ⋅ 1 4 - 80 ⋅ 1 3 3 - 32 ⋅ 0 5 5 + 36 ⋅ 0 4 - 80 ⋅ 0 3 3

∫ C x y z 2 d s   = 21   32 5 + 36 - 80 3 - 0 + 0 - 0

∫ C x y z 2 d s   = 21   236 15

Enfim chegamos ao final da integral igual a:

∫ C x y z 2 d s   = 236 21 15

Resposta

236 21 15

Exercícios de Livros Relacionados

Nos exercícios 18 a 25, calcular as integrais curvilíneas dadas:24. ∫ C y d x + z d y - x y d z , onde C é dada por y = s e nx ; z = 4 ; x ∈ [ 0,2 π ] .
Nos exercícios 18 a 25, calcular as integrais curvilíneas dadas:22. ∫ C d x + d y + d z , onde C é a intersecção das superfícies y + z = 5 e z = 4 - x 2 do ponto A ( 2 ,5 ,0 ) ao ponto B ( - 2 ,5 ,0 )
Calcule ∫ γ d x + x y d y + zd z , onde γ é a interseção de x 2 + y 2 + z 2 = 2 ,x ≥ 0 ,y ≥ 0 e z ≥ 0 , com o plano y = x ; o sentido do percurso é do ponto 0,0 , 2 para 1,1 , 0 .
Calcule a integral de linha ∫ C F → ∙ d r → , onde C é dada pela função vetorial r → t . F → x ,y = x + yi ^ + y - z j ^ + z 2k ^ r → t = t 2i ^ + t 3j ^ + t 2k ^ , 0 ≤ t ≤ 1
Determine uma função f tal que F → = ∇ f e Use a parte (a) para calcular ∫ C F → ⋅ d r → sobre a curva C dada. F → x , y = y 2 c o s c o szi → + 2 x y c o szj → - x y 2 s e nz k → ,C : r → t = t 2 i →