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Exercícios Resolvidos de Caso Vetorial no R³

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Enunciado

USP-SEM CAMPUS- Calculo 3 – prova 2 – 2022.1

Considere o campo de vetores F = ( x 2 , x y ,   z 2 ) e considere a curva C parametrizada pela seguinte função vetorial γ t = ( s e n t , t   , t 2 ) com 0 ≤ t ≤ π 2 . Calculando a integral ∫ C F ∙ d r   temos:

  1. 0

  2. 64 + 5 π 6 960

  3. 64 + 5 π 4 960

  4. 128 + 5 π 6 960

  5. 64 + 25 π 6 960

Passo 1

Opa amigão, aqui é o Rodolpho do Responde Aí e vim te ajudar a fazer essa questão, e aí vamos lá?

Aqui temos uma questão de integral de linha, ele já deu o campo e a parametrização que é a parte mais complicada.

Agora vamos apenas resolver a integral, beleza?

Mas para resolver a integral precisamos lembrar dessa formulinha aqui:

∫ γ F ∙ d r = ∫ t 0 t 1 F ( γ t ) ∙ γ ' t d t

Então, nossa resolução divide em quatro etapas:

A primeira etapa é calcular o campo ao longo da linha γ , depois disso calcular a derivada de γ e finalizando com o produto escalar de ambas e assim montamos nossa integral.

Logo após isso é apenas resolver a integral.

Passo 2

Primeiramente vamos calcular o campo ao longo da curva parametrizada, analisando a curva temos que:

r t = x t , y t , z t = ( s e n t , ( t )   , t 2 )

Sendo assim, temos que:

x t = s e n t

y t = ( t )  

z t = t 2

Substituindo esses valores na equação do campo, temos que:

F γ t = x 2 , x y ,   z 2 = s e n 2 t , s e n t ( t )   , t 4

Agora que calculamos o campo ao longo da curva, vamos para o próximo passo que é calcular a derivada de γ :

d d t γ t = d d t s e n t , t   , t 2 = c o s c o s   t   , - 2 c o s ⁡ ( t ) s e n t , 2 t

Agora fazendo o produto escalar:

F γ t ∙ γ ' t = s e n 2 t , s e n t ( t )   , t 4 ∙ c o s c o s   t   , - 2 s e n t c o s ⁡ ( t ) , 2 t

Logo temos que:

F γ t ∙ γ ' t = c o s c o s   t   s e n 2 t - 2 t   s e n 2 t + 2 t 5

Nossa integral se torna:

∫ γ F ∙ d r = ∫ t 0 t 1 F ( γ t ) ∙ γ ' t d t = ∫ 0 π 2 c o s c o s   t   s e n 2 t - 2 t   s e n 2 t + 2 t 5   d t

Passo 3

Vamos dividir essa integral em 3 integrais, resolver uma por uma, ok? Sendo assim:

∫ 0 π 2 c o s c o s   t   s e n 2 t   d t

- 2 ∫ 0 π 2 t   s e n 2 t   d t

∫ 0 π 2 2 t 5   d t

Passo 4

Vamos resolver a primeira integral agora:

∫ 0 π 2 c o s c o s   t   s e n 2 t   d t

Realizando uma mudança de variável: u = s e n ( t )

Derivando a expressão, temos d u = c o s c o s   t   d t .

Ajustando a integral, temos que a integral se torna:

∫ 0 π 2 c o s c o s   t   s e n 2 t   d t = ∫ 0 1 u 2 d u = 1 3

Passo 5

Agora vamos para as duas últimas integrais.

- ∫ 0 π 2 t   s e n 2 t   d t

Utilizando a identidade trigonométrica s e n 2 t + ( t )   = 1 , logo temos que:

- ∫ 0 π 2 t   ( 1 - ( t ) )   c o s ( t )   d t

Fazendo a mudança de variável, u = s e n ⁡ ( t ) e d u = c o s c o s   t   d t , logo temos que nossa integral se torna:

- ∫ 0 π 2 t   ( 1 - ( t ) )   c o s ⁡ ( t )   d t = - ∫ 0 1 u 2 ( 1 - ( t ) )   d u = - 2 15

Passo 6

E a nossa última integral se torna:

∫ 0 π 2 2 t 5   d t = 2 6 π 6 * 1 2 6

Finalmente temos que:

∫ 0 π 2 c o s c o s   t   s e n 2 t - 2 t   s e n 2 t + 2 t 5   d t = π 6 2 5 6 - 2 15 + 1 3 = 5 π 6 + 64 960

Resposta

Resposta é a letra b)

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Nos exercícios 18 a 25, calcular as integrais curvilíneas dadas:24. ∫ C y d x + z d y - x y d z , onde C é dada por y = s e nx ; z = 4 ; x ∈ [ 0,2 π ] .
Nos exercícios 18 a 25, calcular as integrais curvilíneas dadas:22. ∫ C d x + d y + d z , onde C é a intersecção das superfícies y + z = 5 e z = 4 - x 2 do ponto A ( 2 ,5 ,0 ) ao ponto B ( - 2 ,5 ,0 )
Calcule ∫ γ d x + x y d y + zd z , onde γ é a interseção de x 2 + y 2 + z 2 = 2 ,x ≥ 0 ,y ≥ 0 e z ≥ 0 , com o plano y = x ; o sentido do percurso é do ponto 0,0 , 2 para 1,1 , 0 .
Calcule a integral de linha ∫ C F → ∙ d r → , onde C é dada pela função vetorial r → t . F → x ,y = x + yi ^ + y - z j ^ + z 2k ^ r → t = t 2i ^ + t 3j ^ + t 2k ^ , 0 ≤ t ≤ 1
Determine uma função f tal que F → = ∇ f e Use a parte (a) para calcular ∫ C F → ⋅ d r → sobre a curva C dada. F → x , y = y 2 c o s c o szi → + 2 x y c o szj → - x y 2 s e nz k → ,C : r → t = t 2 i →