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Exercícios Resolvidos de Caso Vetorial no R³

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Enunciado

UFU, Sem Campus, Cálculo 3, Listas de Cálculo 3 - Profª Lúcia - Lista de Integral de Linha - 2023.1, Questão 7b

7. Calcule ∫ γ F → d r → , sendo dados:

b) F → x , y , z = 0,0 , x + y + z e γ t = t , t , 1 - t 2 , t ∈ 0 , 1 .

Passo 1

Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎

Nesse problema queremos calcular a integral da função vetorial F → x , y , z = 0,0 , x + y + z ao longo do caminho γ t = t , t , 1 - t 2 em que t ∈ 0 , 1 .

Lembra como podemos fazer isso? 🤔

Para calcular uma integral de linha, podemos fazer uma adaptação na integral ∫ γ F → d r → como

∫ γ F → d r → → ∫ a b F → γ t · γ ' t d t

Assim, uma integral vetorial acaba se tornando uma integral escalar... o que certamente facilita muito a nossa vida.

Então o que temos que fazer é aplicar o caminho γ t na função F → , calcular a derivada de γ t e substituir na integral sabendo que t varia entre a e b ...

Parece mais fácil agora? 😉

Passo 2

Se γ t = t , t , 1 - t 2 então F → γ t será dado por

F → x , y , z = 0,0 , x + y + z → F → γ t = 0,0 , t + t + 1 - t 2

F → γ t = 0,0 , 2 t + 1 - t 2

Calculando a derivada de γ t , temos

γ ' t = d t d t , d t d t , d 1 - t 2 d t

γ ' t = 1 , 1 , - 2 t

Substituindo F → γ t e γ ' t na integral sabendo que a = 0 e b = 1 ...

∫ γ F → d r → = ∫ a b F → γ t · γ ' t d t → ∫ 0 1 0,0 , 2 t + 1 - t 2 · 1 , 1 , - 2 t d t

∫ γ F → d r → = ∫ 0 1 2 t + 1 - t 2 - 2 t d t

Simplificando...

∫ γ F → d r → = ∫ 0 1 2 t 3 - 4 t 2 - 2 t d t

Calculando essa integral, temos

∫ 2 t 3 - 4 t 2 - 2 t d t = t 4 2 - 4 t 3 3 - t 2

Aplicando os limites de integração

∫ 0 1 2 t 3 - 4 t 2 - 2 t d t = 1 4 2 - 4 1 3 3 - 1 2 - 0 4 2 - 4 0 3 3 - 0 2

∫ 0 1 2 t 3 - 4 t 2 - 2 t d t = - 11 6

Portanto, temos que

∫ γ F → d r → = - 11 6

Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁

Resposta

∫ γ F → d r → = - 11 6

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Nos exercícios 18 a 25, calcular as integrais curvilíneas dadas:24. ∫ C y d x + z d y - x y d z , onde C é dada por y = s e nx ; z = 4 ; x ∈ [ 0,2 π ] .
Nos exercícios 18 a 25, calcular as integrais curvilíneas dadas:22. ∫ C d x + d y + d z , onde C é a intersecção das superfícies y + z = 5 e z = 4 - x 2 do ponto A ( 2 ,5 ,0 ) ao ponto B ( - 2 ,5 ,0 )
Calcule ∫ γ d x + x y d y + zd z , onde γ é a interseção de x 2 + y 2 + z 2 = 2 ,x ≥ 0 ,y ≥ 0 e z ≥ 0 , com o plano y = x ; o sentido do percurso é do ponto 0,0 , 2 para 1,1 , 0 .
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Determine uma função f tal que F → = ∇ f e Use a parte (a) para calcular ∫ C F → ⋅ d r → sobre a curva C dada. F → x , y = y 2 c o s c o szi → + 2 x y c o szj → - x y 2 s e nz k → ,C : r → t = t 2 i →