UFPE, Cálculo 3, 1°EE, 2013.1, questão 2
A curva dada por:
Representa o formato de um arame.
- Encontre uma parametrização para
- Escreva duas integrais definidas no parâmetro que expressem respectivamente:
- a carga do arame, se a densidade é dada por
- o trabalho que realiza o campo ao longo do arame
Passo 1
- Temos as equações:
- Como éa densidade, podemos calcular a carga pela integral:
Utilizando a segunda na primeira:
Ajeitando:
Completando os quadrados:
Passo 2
Agora, temos de parametrizar a equação:
É uma circunferência, então:
Porém,
Logo, temos:
Passo 3
Substituindo, vamos ter:
Calculando:
Logo, a integral fica:
Passo 2
O trabalho do campo é dado por:
Lembrando que , substituindo:
Resposta
- Item i) , Item ii)
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Nos exercícios 18 a 25, calcular as integrais curvilíneas dadas:24. ∫ C y d x + z d y - x y d z , onde C é dada por y = s e nx ; z = 4 ; x ∈ [ 0,2 π ] .
Nos exercícios 18 a 25, calcular as integrais curvilíneas dadas:22. ∫ C d x + d y + d z , onde C é a intersecção das superfícies y + z = 5 e z = 4 - x 2 do ponto A ( 2 ,5 ,0 ) ao ponto B ( - 2 ,5 ,0 )
Calcule ∫ γ d x + x y d y + zd z , onde γ é a interseção de x 2 + y 2 + z 2 = 2 ,x ≥ 0 ,y ≥ 0 e z ≥ 0 , com o plano y = x ; o sentido do percurso é do ponto 0,0 , 2 para 1,1 , 0 .
Calcule a integral de linha ∫ C F → ∙ d r → , onde C é dada pela função vetorial r → t . F → x ,y = x + yi ^ + y - z j ^ + z 2k ^ r → t = t 2i ^ + t 3j ^ + t 2k ^ , 0 ≤ t ≤ 1
Determine uma função f tal que F → = ∇ f e Use a parte (a) para calcular ∫ C F → ⋅ d r → sobre a curva C dada. F → x , y = y 2 c o s c o szi → + 2 x y c o szj → - x y 2 s e nz k → ,C : r → t = t 2 i →