Exercícios Resolvidos de Caso Vetorial no R³

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Enunciado

O campo F = x y i + y j - y z k é o campo de velocidades de um escoamento no espaço. Encontre o escoamento de ( 0,0 , 0 ) até 1,1 , 1 ao longo da curva de interseção do cilindro y = x 2 e do plano z = x . (Sugestão: use x = t como parâmetro.)

Passo 1

Na teoria a gente viu que escoamento nada mais é que a integral de linha:

∫ C F → . d r =   ∫ a b F x t ,   y t , z t . σ → ' t   d t

O campo foi dado no enunciado F → = ( x y , y , - y z ) , só fica faltando a parametrização da curva C .

Então vamos começar por isso, né?

Passo 2

O exercício da uma dica boa de usar x = t , então vamos usá-la. E isso dá que y = t 2 , certo?

Então, pelo cilindro, encontramos que a projeção no plano x y pode ser parametrizada por:

t , t 2

Mas aqui estamos no R 3 , então vamos usar a outra superfície para encontrar a parametrização da nossa curva C no espaço.

E o que temos é algo simples, o plano z = x , que nos dá z = t também.

Assim temos que nossa curva C tem parametrização:

σ → = ( t , t 2 , t )

Que vai de 0,0 , 0 a ( 1,1 , 1 ) , então 0 ≤ t ≤ 1 , concorda?

Passo 3

Da parametrização podemos tirar o vetor tangente:

σ → = d x d t , d y d t , d z d t = ( 1,2 t , 1 )

E agora já temos tudo que precisamos pra calcular a integral, é so jogar na fórmula!

Passo 4

Então, vamos ter que: ∫ a b F x t ,   y t , z t ∙ σ → ' t   d t = ∫ 0 1 ( t ∙ t 2 , t 2 , - t 2 ∙ t ) ∙ ( 1,2 t , 1 ) d t

= ∫ 0 1 t 3 + 2 t 3 - t 3 d t = ∫ 0 1 2 t 3 d t = 2 t 4 4 │ 0 1 = 1 2

Resposta

1 2

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Nos exercícios 18 a 25, calcular as integrais curvilíneas dadas:24. ∫ C y d x + z d y - x y d z , onde C é dada por y = s e nx ; z = 4 ; x ∈ [ 0,2 π ] .
Nos exercícios 18 a 25, calcular as integrais curvilíneas dadas:22. ∫ C d x + d y + d z , onde C é a intersecção das superfícies y + z = 5 e z = 4 - x 2 do ponto A ( 2 ,5 ,0 ) ao ponto B ( - 2 ,5 ,0 )
Calcule ∫ γ d x + x y d y + zd z , onde γ é a interseção de x 2 + y 2 + z 2 = 2 ,x ≥ 0 ,y ≥ 0 e z ≥ 0 , com o plano y = x ; o sentido do percurso é do ponto 0,0 , 2 para 1,1 , 0 .
Calcule a integral de linha ∫ C F.d r , onde C é dada pela função vetorial r t . F x ,y = x + yi + y - z j + z 2k, r t = t 2i + t 3j + t 2k,0 ≤ t ≤ 1
Determine uma função f tal que F → = ∇ f e Use a parte (a) para calcular ∫ C F → ⋅ d r → sobre a curva C dada. F → x , y = y 2 cos ⁡ z i → + 2 x y c o szj → - x y 2 s e nz k → ,C : r → t = t 2 i →s e