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Exercícios Resolvidos de Caso Vetorial no R³

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Enunciado

Encontre o trabalho realizado pela força

F → = 6 z i → + y 2 j → + 12 x k →

No sentido de t crescente sobre o caminho

r t = sin ⁡ t i → + cos ⁡ t j → + t 6 k → ,               0 ≤ t ≤ 2 π

Passo 1

Trabalho de uma força sobre uma curva é sempre dado por uma integral de linha:

∫ C   F → x ,   y ,   z d r →

Onde esse F → x ,   y é o vetor...

F → x ,   y ,   z = 6 z ,   y 2 ,   12 x

Se vamos buscamos a solução dessa integral de linha do modo diretão, nada mais justo que seguirmos o passo a passo maroto de resolução desse tipo de integral:

  1. Parametrizar a curva C que estamos trabalhando
  2. Substituir os termos do campo vetorial F → x ,   y pelos termos da parametrização
  3. Encontrar o termo d r →

Então vem comigo nessa aventura! :D

Passo 2

Deveríamos aqui parametrizar essa curva, mas para a nossa alegria... Ela já está parametrizada !

r → t = sin ⁡ t , cos ⁡ t , t 6

Onde t varia...

0 ≤ t ≤ 2 π

Passo 3

Beleza! Agora devemos prosseguir substituindo no campo vetorial F → x ,   y ,   z , esse x , y e z pelos termos da parametrização:

F → x ,   y ,   z = 6 z ,   y 2 ,   12 x   →

Como na parametrização que temos,   r → t = sin ⁡ t , cos ⁡ t , t 6 , x é a primeira entrada e y é a segunda...

x = sin ⁡ t

y = cos ⁡ t

z = t 6

Basta substituir no campo vetorial:

F → r → t = t , cos 2 ⁡ t , 12 sin ⁡ t  

Passo 4

Para encontrar o termo d r → , basta sabermos que facilmente o encontramos fazendo:

d r → = r → ' t d t

Como no caso a parametrização foi r → t = sin ⁡ t , cos ⁡ t , t 6 , derivando cada termo do vetor em relação a t ...

r → t = sin ⁡ t , cos ⁡ t , t 6       →

    r → ' t = cos ⁡ t , - sin ⁡ t , 1 6

Logo...

d r → = cos ⁡ t , - sin ⁡ t , 1 6 d t

Passo 5

Voltando para a integral de linha que estamos trabalhando

∫ C   F → x ,   y ,   z d r →

e substituir todos os dados que obtivemos...

∫ C   F → x ,   y ,   z d r → = ∫ 0 2 π t , cos 2 ⁡ t , 12 sin ⁡ x ∙ cos ⁡ t , - sin ⁡ t , 1 6 d t →

Não se esqueça de realizar esse produto escalar de vetores aí, heim!

∫ 0 2 π t cos ⁡ t - cos 2 ⁡ t sin ⁡ t + 2 sin ⁡ t   d t

Agora basta que resolva a integral e correr para o abraço!

Passo 6

∫ 0 2 π t cos ⁡ t - cos 2 ⁡ t sin ⁡ t + 2 sin ⁡ t   d t = ∫ 0 2 π cos ⁡ t t - cos ⁡ t sin ⁡ t   d t + ∫ 0 2 π 2 sin ⁡ t   d t

Para a primeira integral podemos fazer uma substituição simples do tipo:

sin ⁡ t = u

pois

d u = cos ⁡ t d t

Quando trocamos os limites também...

t = 0             →                 u = sin ⁡ 0 = 0

t = 2 π             →                 u = sin ⁡ 2 π = 0

Epa! Os limites ficaram os mesmos, como a função é continua, nem precisamos terminar a integral para saber o resultado é:

∫ 0 2 π cos ⁡ t t - cos ⁡ t sin ⁡ t   d t =

0

Passo 7

Para a segunda integral:

∫ 0 2 π 2 sin ⁡ t   d t = - 2 cos ⁡ t 0 2 π = - 2 + 2 = 0

Que beleza, da tudo zero!

Resposta

  0

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