UFPB, Sem Campus, Cálculo Diferencial e Integral III, Listas de Cálculo de Várias Variáveis - Lista 2 - Integral de Linha, Questão 2.2.4e
Calcule , nos seguintes casos:
(e) ; consiste do segmento de reta de a , seguido do seguimento de reta de a .
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão!
O enunciado pediu pra gente calcular a integral de linha, , da função ; sobre a região , que é o segmento de reta de a , seguido do seguimento de reta de a .
Pra isso, precisamos lembrar que a integral de linha pode ser definida pela equação:
Onde é a derivada da parametrização da curva e é a nossa função vetorial aplicada na parametrização , , .
Nesse caso, vamos calcular a integral de linha pelo caminho até e depois somar com o resultado da integral de linha pelo caminho a .
Vamos lá!
Passo 2
Vamos começar analisando o caminho do ponto ao ponto . Usando a fórmula da parametrização da reta:
Onde e são os pontos dados. Assim, vamos ter:
Então, temos , e . Assim, quando , temos e quando , temos . Esse é o intervalo de variação do nosso parâmetro, . E derivando , vamos ter:
Além disso, aplicando a parametrização na função vetorial , teremos:
Passo 3
Agora indo do ponto ao ponto , vamos ter:
Assim, quando , temos e quando , temos . Então, aqui nosso parâmetro varia no intervalo . E derivando, vamos ter:
Aplicando a parametrização na função , teremos:
Passo 4
Calculando as integrais de linha pelos dois caminhos, usando , temos:
Calculando o produto escalar entre os vetores do integrando:
Integrando as duas constantes:
Aplicando os limites de integração:
Valeu, galera! Até a próxima! 😉