Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Exercícios Resolvidos de Caso Vetorial no R³

Ver Teoria
Exercício 312456789101112131415161718192021222324252627282930313233343536373839

Enunciado

Calcule

∫ C P d x + Q d y + R d z

Onde F → = y , z , x e C é a interseção das superfícies x + y = 2 e x 2 + y 2 + z 2 = 2 x + y , percorrida no senti anti-horário quando vista da origem.

Passo 1

Vamos usar a fórmula que vimos na teoria pra integrais de linha vetoriais:

∫ C F ∙ d r = ∫ a b F x t , y t , z t ∙ σ → ' t   d t

O campo foi dado no enunciado, então só falta parametrizarmos a cruva e encontrarmos o vetor tangente. Vamos ver como que fica!

Passo 2

Precisamos conseguir parametrizar a curva C , primeiro vamos achar a interseção entre as duas superfícies, fazendo

y = 2 - x

Substituindo na equação da esfera

x 2 + 2 - x 2 + z 2 = 2 x + 2 - x

x 2 + 4 - 4 x + x 2 + z 2 = 2 2

2 x 2 - 4 x + z 2 = 0

Vamos completar quadrados agora

2 x 2 - 4 x + 2 + z 2 = 2

2 x 2 - 2 x + 1 + z 2 = 2

2 x - 1 2 + z 2 = 2

x - 1 2 1 + z 2 2 = 1

Isso é uma elipse, vamos parametrizar essa elipse, vamos ter

x = 1 + 1 cos ⁡ θ

z = 2 sen ⁡ θ

Com θ ∈ 0,2 π

Falta a componente y , mas temos uma relação entre y e x

x + y = 2

Então

y = 2 - 1 + cos ⁡ θ

y = 1 - cos ⁡ θ

Vamos ter

C : σ θ = 1 + cos ⁡ θ , 1 - cos ⁡ θ , 2 sen ⁡ θ

Com θ ∈ 0,2 π

Passo 3

Agora calculamos σ ' θ

σ ' t = ∂ ∂ θ 1 + cos ⁡ θ , ∂ ∂ θ 1 - cos ⁡ θ , ∂ ∂ θ 2 sen ⁡ θ = - sen ⁡ θ , sen ⁡ θ , 2 cos ⁡ θ

Passo 4

Mas uma coisa que temos que ficar atentos na integral de linha é o sentido do cara. Ele disse que o sentido é anti-horário quando visto da origem, isso quer dizer que, para o nosso sentido “normal”, ele roda ao contrário do visto pela origem, ou seja, neste caso vai ser no sentido horário.

Mas a nossa parametrização foi feita para a curva percorrendo o sentido anti-horário, com orientaçao positiva. Para corrigir isso, ao invés de integrarmos sobre C , vamos integrar sobre C - , de forma que:

∫ C - F ∙ d r = - ∫ C F ∙ d r

Agora é só jofgar tudo na integral e calcular!

Passo 5

Vamos, então, substituir σ θ e σ ' θ na integral.

- ∫ 0 2 π 1 - cos ⁡ θ , 2 sen ⁡ θ , 1 + cos ⁡ θ ∙ - sen ⁡ θ , sen ⁡ θ , 2 cos ⁡ θ d θ

= - ∫ 0 2 π - sen ⁡ θ + sen ⁡ θ cos ⁡ θ + 2 sen 2 ⁡ θ + 2 cos ⁡ θ + 2 cos 2 ⁡ θ d θ

= - ∫ 0 2 π - sen ⁡ θ + sen ⁡ θ cos ⁡ θ + 2 cos ⁡ θ + 2 sen 2 ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ d θ

= - ∫ 0 2 π - sen ⁡ θ + sen ⁡ θ cos ⁡ θ + 2 cos ⁡ θ + 2 d θ

Lembrando que

sen ⁡ θ cos ⁡ θ = sen ⁡ 2 θ 2

A integral vai ficar

= - ∫ 0 2 π - sen ⁡ θ + sen ⁡ 2 θ 2 + 2 cos ⁡ θ + 2 d θ

= - cos ⁡ θ - cos ⁡ 2 θ 4 + 2 sen ⁡ θ + 2 θ θ = 0 2 π

= - cos ⁡ 2 π - cos ⁡ 2 ∙ 2 π 4 + 2 sen ⁡ 2 π + 2 ∙ 2 π - cos ⁡ 0 - cos ⁡ 2 ∙ 0 4 + 2 sen ⁡ 0 + 2 ∙ 0

= - 1 - cos ⁡ 4 π 4 + 0 + 2 ∙ 2 π - 1 - cos ⁡ 0 4 + 0 + 0

= - 1 - 1 4 + 2 2 π - 1 - 1 4 +

= - 2 2 π

Resposta

- 2 2 π

Exercícios de Livros Relacionados

Nos exercícios 18 a 25, calcular as integrais curvilíneas dadas:24. ∫ C y d x + z d y - x y d z , onde C é dada por y = s e nx ; z = 4 ; x ∈ [ 0,2 π ] .
Nos exercícios 18 a 25, calcular as integrais curvilíneas dadas:22. ∫ C d x + d y + d z , onde C é a intersecção das superfícies y + z = 5 e z = 4 - x 2 do ponto A ( 2 ,5 ,0 ) ao ponto B ( - 2 ,5 ,0 )
Calcule ∫ γ d x + x y d y + zd z , onde γ é a interseção de x 2 + y 2 + z 2 = 2 ,x ≥ 0 ,y ≥ 0 e z ≥ 0 , com o plano y = x ; o sentido do percurso é do ponto 0,0 , 2 para 1,1 , 0 .
Calcule a integral de linha ∫ C F → ∙ d r → , onde C é dada pela função vetorial r → t . F → x ,y = x + yi ^ + y - z j ^ + z 2k ^ r → t = t 2i ^ + t 3j ^ + t 2k ^ , 0 ≤ t ≤ 1
Determine uma função f tal que F → = ∇ f e Use a parte (a) para calcular ∫ C F → ⋅ d r → sobre a curva C dada. F → x , y = y 2 c o s c o szi → + 2 x y c o szj → - x y 2 s e nz k → ,C : r → t = t 2 i →