Integrais de linha – caso vetorial
Seja a curva dada pela intersecção do paraboloide com o cilindro , orientade de modo que sua projeção no plano seja percorrida uma ver no sentido anti-horário. Calcule no seguinte caso:
Passo 1
A integral de linha aqui é vetorial então precisamos descobrir como parametrizar a interseção entre o paraboloide e o cilindro. Vamos começar descobrindo a interseção entre o paraboloide e o cilindro, repara que temos
Então
Logo a interseção é a curva
Com
Podemos parametrizar essa circunferência de boa, vai ficar
Com
Passo 2
Agora queremos a derivada desse cara
Vamos para a integral
Passo 3
A integral vai ficar
Resposta
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Nos exercícios 18 a 25, calcular as integrais curvilíneas dadas:24. ∫ C y d x + z d y - x y d z , onde C é dada por y = s e nx ; z = 4 ; x ∈ [ 0,2 π ] .
Nos exercícios 18 a 25, calcular as integrais curvilíneas dadas:22. ∫ C d x + d y + d z , onde C é a intersecção das superfícies y + z = 5 e z = 4 - x 2 do ponto A ( 2 ,5 ,0 ) ao ponto B ( - 2 ,5 ,0 )
Calcule ∫ γ d x + x y d y + zd z , onde γ é a interseção de x 2 + y 2 + z 2 = 2 ,x ≥ 0 ,y ≥ 0 e z ≥ 0 , com o plano y = x ; o sentido do percurso é do ponto 0,0 , 2 para 1,1 , 0 .
Calcule a integral de linha ∫ C F → ∙ d r → , onde C é dada pela função vetorial r → t . F → x ,y = x + yi ^ + y - z j ^ + z 2k ^ r → t = t 2i ^ + t 3j ^ + t 2k ^ , 0 ≤ t ≤ 1
Determine uma função f tal que F → = ∇ f e Use a parte (a) para calcular ∫ C F → ⋅ d r → sobre a curva C dada. F → x , y = y 2 c o s c o szi → + 2 x y c o szj → - x y 2 s e nz k → ,C : r → t = t 2 i →