Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Exercícios Resolvidos de Caso Vetorial no R³

Ver Teoria
Exercício 712345689101112131415161718192021222324252627282930313233343536373839

Enunciado

UFPB, Sem Campus, Cálculo Diferencial e Integral III, Listas de Cálculo de Várias Variáveis - Lista 2 - Integral de Linha, Questão 2.2.4c

Calcule ∫ γ F → ∙ d r → , nos seguintes casos:

(c) F → = x y i → - y j → + k → ; γ é o segmento de reta da origem ao ponto A ( 1 ,   1 ,   1 ) .

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular a integral de linha, ∫ γ F → ∙ d r → , da função F → = x y i → - y j → + k → ; sobre a região γ , que é o segmento de reta da origem ao ponto A ( 1 ,   1 ,   1 ) .

Pra isso, precisamos lembrar que a integral de linha pode ser definida pela equação:

∫ γ F → ∙ d r → = ∫ a b F x t ,   y t ,   z ( t ) ∙ r → ' ( t ) d t

Onde r → ' ( t ) é a derivada da parametrização da curva γ e F x t ,   y t ,   z ( t ) é a nossa função vetorial aplicada na parametrização x ( t ) , y ( t ) , z ( t ) .

Como temos uma reta que vai do ponto ( 0 ,   0 ,   0 ) até o ponto ( 1 ,   1 ,   1 ) , podemos usar a fórmula da parametrização da reta:

r → t = 1 - t r 0 + t ( r 1 )

Onde r 0 e r 1 são os pontos conhecidos. Substituindo os dois pontos dados, vamos obter:

r → t = ( t ,   t ,   t )

Com t variando no intervalo [ 0 ,   1 ] .

Vamos lá!

Passo 2

Usando as equações paramétricas do passo 1 , vamos derivar nosso vetor r → ( t ) :

r → ' t = ( 1 ,   1 ,   1 )

Aplicando nossa função F → = x y i → - y j → + k → na parametrização, temos:

F x t ,   y t ,   z ( t ) = ( t t ,   - t ,   1 )

F x t ,   y t ,   z ( t ) = ( t 2 ,   - t ,   1 )

Passo 3

Com as informações do passo anterior, vamos montar nossa integral de acordo com a fórmula:

∫ γ F → ∙ d r → = ∫ a b F x t ,   y t ,   z ( t ) ∙ r → ' ( t ) d t

= ∫ 0 1 ( t 2 , - t ,   1 ) ∙ ( 1 ,   1 ,   1 )   d t

Calculando o produto escalar entre os vetores do integrando, temos:

∫ 0 1 t 2 - t + 1   d t

Passo 4

Integrando usando a regrinha da potência ( ∫ x n d x = x n + 1 n + 1 ), temos:

t 3 3 - t 2 2 + t 0 1

Aplicando os limites de integração:

1 3 3 - 1 2 2 + 1 - 0 3 3 + 0 2 2 - ( 0 )

= 1 3 - 1 2 + 1

= 2 - 3 + 6 6 = 5 6

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

5 6

Exercícios de Livros Relacionados

Nos exercícios 18 a 25, calcular as integrais curvilíneas dadas:24. ∫ C y d x + z d y - x y d z , onde C é dada por y = s e nx ; z = 4 ; x ∈ [ 0,2 π ] .
Nos exercícios 18 a 25, calcular as integrais curvilíneas dadas:22. ∫ C d x + d y + d z , onde C é a intersecção das superfícies y + z = 5 e z = 4 - x 2 do ponto A ( 2 ,5 ,0 ) ao ponto B ( - 2 ,5 ,0 )
Calcule ∫ γ d x + x y d y + zd z , onde γ é a interseção de x 2 + y 2 + z 2 = 2 ,x ≥ 0 ,y ≥ 0 e z ≥ 0 , com o plano y = x ; o sentido do percurso é do ponto 0,0 , 2 para 1,1 , 0 .
Calcule a integral de linha ∫ C F → ∙ d r → , onde C é dada pela função vetorial r → t . F → x ,y = x + yi ^ + y - z j ^ + z 2k ^ r → t = t 2i ^ + t 3j ^ + t 2k ^ , 0 ≤ t ≤ 1
Determine uma função f tal que F → = ∇ f e Use a parte (a) para calcular ∫ C F → ⋅ d r → sobre a curva C dada. F → x , y = y 2 c o s c o szi → + 2 x y c o szj → - x y 2 s e nz k → ,C : r → t = t 2 i →