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Exercícios Resolvidos de Caso Vetorial no R³

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Enunciado

  1. Calcule ∫ C   3 x z   d x + 4 y z   d y + 2 x y   d z , do ponto A = 0 ,   0 ,   0 ao ponto B = 1 ,   1 ,   2 , ao longo dos seguintes cainhos:
  1. Segmento de reta A B

Passo 1

Bem, antes do começarmos qualquer coisa, vamos colocar essa integral de linha de uma forma mais elegante.

Como você já pode notar, a integral de linha está assim ∫ C   3 x z   d x + 4 y z   d y + 2 x y   d z , certo? Só que esse formato é apenas outra forma de falar que estamos trabalhando uma integral de linha de um campo de vetores: ∫ C   F → x ,   y ,   z d r →

∫ C   3 x z   d x + 4 y z   d y + 2 x y   d z = ∫ C   F → x ,   y ,   z d r →

Onde esse F → x ,   y ,   z é o vetor...

F → x ,   y ,   z = 3 x z ,   4 y z ,   2 x y

Se buscamos a solução dessa integral de linha do modo diretão, nada mais justo que seguirmos o passo a passo maroto de resolução desse tipo de integral:

  1. Parametrizar a curva C que estamos trabalhando.
  2. Substituir os termos do campo vetorial F → x ,   y ,   z pelos termos da parametrização.
  3. Encontrar o termo d r → .

Então vem comigo nessa aventura! :D

Passo 2

Vamos então parametrizar a curva C , mas por falar nisso, quem é a curva C ?

Como nos pediu o exercício, a curva é esse trechinho de reta que liga esses dois pontos, A = ( 0 ,   0 ,   0 ) e B = 1 ,   1 ,   2 :

Como sabemos, devemos parametriza-la. Como C é uma reta... Toda reta pode ser parametrizada da forma

x = x 0 + a t

y = y 0 + b t

z = z 0 + c t

Onde ( x 0 ,   y 0 ,   z 0 ) é um ponto da reta... No caso pode ser o próprio ponto de saída ( 0 ,   0 ,   0 ) ...

x = a t

y = b t

z = c t

Quanto ao ( a ,   b ,   c ) , ele nada mais é do que o vetor de direção da retinha e pode ser encontrada fazendo a subtração do ponto de chegada pelo ponto de partida

a ,   b ,   c = 1 ,   1 ,   2 - 0 ,   0 ,   0

a ,   b = 1 ,   1 ,   2

então, a = 1 e b = 1 e c = 2 ...

x = t

y = t

z = 2 t

Logo, a parametrização da reta C de uma forma mais elegante...

γ t = ( t ,   t ,   2 t )

Como x é t e x está variando do ponto inicial 0 ,   0 ,   0   de x = 0 até o ponto final 1 ,   1 ,   2 onde x = 1 ...

0 ≤ t ≤ 1

Passo 3

Beleza! Agora devemos prosseguir substituindo no campo vetorial F → x ,   y ,   z , esse x , y e z pelos termos da parametrização:

F → x ,   y ,   z = 3 x z ,   4 y z ,   2 x y       →

Lembrando que x = t , y = t e z = 2 t ...

F → γ t = 3 t 2 t ,   4 t 2 t ,   2 t 2   →

F → γ t = 6 t 2 ,   8 t 2 ,   2 t 2

Passo 4

Para encontrar o termo d r → , basta sabermos que facilmente o encontramos fazendo:

d r → = γ ' t d t

Como no caso a parametrização foi γ t = ( t ,   t ,   2 t ) , derivando cada termo do vetor em relação a t ...

γ t = ( t ,   t ,   2 t )             →               γ ' t = 1 ,   1 ,   2

Logo...

d r → = 1 ,   1 ,   2 d t

Passo 5

Voltando para a integral de linha que estamos trabalhando

∫ C   F → x ,   y ,   z d r →

e substituir todos os dados que obtivemos...

∫ C   F → x ,   y ,   z d r → = ∫ 0 1 6 t 2 ,   8 t 2 ,   2 t 2 ∙ 1 ,   1 ,   2 d t

Não se esqueça de realizar esse produto escalar de vetores aí, heim!

∫ 0 1 6 t 2 ,   8 t 2 ,   2 t 2 ∙ 1 ,   1 ,   2 d t = ∫ 0 1 1 ⋅ 6 t 2 + 1 ⋅ 8 t 2 + 2 ⋅ 2 t 2   d t =

∫ 0 1 18 t 2   d t

Agora basta que resolva a integral e corra para o abraço!

∫ 0 1 18 t 2   d t = 18 t 3 3 0 1 =

6

Resposta

a )   6

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Nos exercícios 18 a 25, calcular as integrais curvilíneas dadas:24. ∫ C y d x + z d y - x y d z , onde C é dada por y = s e nx ; z = 4 ; x ∈ [ 0,2 π ] .
Nos exercícios 18 a 25, calcular as integrais curvilíneas dadas:22. ∫ C d x + d y + d z , onde C é a intersecção das superfícies y + z = 5 e z = 4 - x 2 do ponto A ( 2 ,5 ,0 ) ao ponto B ( - 2 ,5 ,0 )
Calcule ∫ γ d x + x y d y + zd z , onde γ é a interseção de x 2 + y 2 + z 2 = 2 ,x ≥ 0 ,y ≥ 0 e z ≥ 0 , com o plano y = x ; o sentido do percurso é do ponto 0,0 , 2 para 1,1 , 0 .
Calcule a integral de linha ∫ C F → ∙ d r → , onde C é dada pela função vetorial r → t . F → x ,y = x + yi ^ + y - z j ^ + z 2k ^ r → t = t 2i ^ + t 3j ^ + t 2k ^ , 0 ≤ t ≤ 1
Determine uma função f tal que F → = ∇ f e Use a parte (a) para calcular ∫ C F → ⋅ d r → sobre a curva C dada. F → x , y = y 2 c o s c o szi → + 2 x y c o szj → - x y 2 s e nz k → ,C : r → t = t 2 i →