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Exercícios Resolvidos de Caso Vetorial no R³

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Enunciado

Integrais de linha – caso vetorial

Calcule

∫ C   F . d r

Onde F x , y , z = y z ,   2 x z ,   x y + 2 z e C é o segmento de reta que liga o ponto ( 1,0 , 1 ) ao ponto ( - 2,2 , 2 ) .

Passo 1

Vamos montar a integral:

∫ C   F x , y , z ⋅ d r = ∫ a b F x t ,   y t ,   z ( t ) ⋅ r → ' t d t

Bom, agora precisamos de uma parametrização para essa reta que liga liga o ponto ( 1,0 , 1 ) ao ponto ( - 2,2 , 2 ) .

Você pode encontrar isso de várias formas, aqui nós vamos optar por usar o método “ v e t o r × t + p o n t o ”. Basicamente:

r → t = v → . t + P

Onde t é o parâmetro da reta e v → é o vetor que liga o ponto inicial ao final, portanto:

v → = - 2,2 , 2 - 1,0 , 1 = ( - 3,2 , 1 )

Esse ponto P é um ponto qualquer que esteja na nossa reta, podemos escolher ( 1,0 , 1 ) . Isso nos dá:

r → t = - 3,2 , 1 t + ( 1,0 , 1 )

r → t = - 3 t + 1 ,   2 t , t + 1

Beleza, essa é a parametrização da reta, agora só precisamos analisar o intervalo de t , que vamos levar para a nossa integral.

Repare que substituindo t = 0 na parametrização, nós temos o ponto ( 1,0 , 1 ) e com t = 1 , temos o ponto ( - 2,2 , 2 ) , que são, respectivamente, os pontos inicial e final do segmento. Portanto, 0 ≤ t ≤ 1 .

Passo 2

Agora calculamos r → ' t :

r → ' t = d ( - 3 t + 1 ) d t ,   d ( 2 t ) d t ,   d t + 1 d t = ( - 3,2 , 1 )

Passo 3

Vamos, então, substituir r → ' t na integral e escrever o campo em função do parâmetro t

O campo é dado por

F x , y , z = y z ,   2 x z ,   x y + 2 z

Aplicando a parametrização

r → t = - 3 t + 1 ,   2 t , t + 1

Temos

F x ( t ) , y ( t ) , z ( t ) = 2 t t + 1 ,   2 - 3 t + 1 t + 1 ,   2 t - 3 t + 1 + 2 t + 1

F x ( t ) , y ( t ) , z ( t ) = 2 t 2 + 2 t ,   - 6 t 2 + 2 t - 6 t + 2 ,   - 6 t 2 + 2 t + 2 t + 2

F x ( t ) , y ( t ) , z ( t ) = 2 t 2 + 2 t ,   - 6 t 2 - 4 t + 2 ,   - 6 t 2 + 4 t + 2

Substituindo então na integral, temos

∫ 0 1 2 t 2 + 2 t ,   - 6 t 2 - 4 t + 2 ,   - 6 t 2 + 4 t + 2 . ( - 3,2 , 1 ) d t =

= ∫ 0 1 - 6 t 2 - 6 t - 12 t 2 - 8 t + 4 - 6 t 2 + 4 t + 2 d t =

= ∫ 0 1 - 24 t 2 - 10 t + 6 d t =

= - 8 t 3 - 5 t 2 + 6 t 0 1 =

= - 8 - 5 + 6 =

= - 7

Resposta

- 7

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Nos exercícios 18 a 25, calcular as integrais curvilíneas dadas:22. ∫ C d x + d y + d z , onde C é a intersecção das superfícies y + z = 5 e z = 4 - x 2 do ponto A ( 2 ,5 ,0 ) ao ponto B ( - 2 ,5 ,0 )
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