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Exercícios Resolvidos de Caso Vetorial no R³

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Enunciado

UFU, Sem Campus, Cálculo 3, Listas de Cálculo 3 - Profª Lúcia - Lista de Integral de Linha - 2023.1, Questão 9a

9. Uma partícula desloca-se em um campo de forças dado por F → x , y , z = - y , x , z . Ache o trabalho realizado por F → no deslocamento da partícula de γ a até γ b , sendo dados

a) γ t = 2 t + 1 , t - 1 , t , a = 1 ; b = 2 .

Passo 1

Fala aí!! Bem-vindo! Está um pouco complicada essa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍

Nesse problema queremos calcular o trabalho da função vetorial F → x , y , z = - y , x , z ao longo do caminho γ t = 2 t + 1 , t - 1 , t em que t ∈ 1 , 2 .

Lembra como podemos fazer isso? 🤔

Para calcular o trabalho de um campo vetorial ao longo de um caminho podemos calcular como uma integral de linha fazendo

W = ∫ a b F → γ t · γ ' t d t

Assim, uma integral vetorial acaba se tornando uma integral escalar... o que certamente facilita muito a nossa vida.

Então o que temos que fazer é aplicar o caminho γ t na função F → , calcular a derivada de γ t e substituir na integral sabendo que t varia entre a e b ...

Parece mais fácil agora? 😉

Passo 2

Se γ t = 2 t + 1 , t - 1 , t então F → γ t será dado por

F → x , y , z = - y , x , z → F → γ t = - t + 1,2 t + 1 , t

Calculando a derivada de γ t , temos

γ ' t = d 2 t + 1 d t , d t - 1 d t , d t d t

γ ' t = 2 , 1,1

Substituindo F → γ t e γ ' t na integral sabendo que a = 1 e b = 2 ...

W = ∫ a b F → γ t · γ ' t d t → ∫ 1 2 - t + 1,2 t + 1 , t · 2 , 1,1 d t

W = ∫ 1 2 - 2 t + 2 + 2 t + 1 + t d t

W = ∫ 1 2 3 + t d t

Calculando essa integral, temos

∫ 3 + t d t = 3 t + t 2

Aplicando os limites de integração

∫ 1 2 3 + t d t = 3 2 + 2 2 - 3 1 + 1 2

∫ 1 2 3 + t d t = 6 + 4 - 3 - 1

Portanto, temos que

W = 6   J

É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌

Resposta

W = 6   J

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Nos exercícios 18 a 25, calcular as integrais curvilíneas dadas:22. ∫ C d x + d y + d z , onde C é a intersecção das superfícies y + z = 5 e z = 4 - x 2 do ponto A ( 2 ,5 ,0 ) ao ponto B ( - 2 ,5 ,0 )
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