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Exercícios Resolvidos de Caso Vetorial no R³

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Enunciado

UFPB, Sem Campus, Cálculo Diferencial e Integral III, Listas de Cálculo de Várias Variáveis - Lista 2 - Integral de Linha, Questão 2.2.4d

Calcule ∫ γ F → ∙ d r → , nos seguintes casos:

(d) F → = y 2 i → + x 2 j → ; γ é o arco da parábola x = t , y = t 2 e z = 0 ; 1 ≤ t ≤ 2 .

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular a integral de linha, ∫ γ F → ∙ d r → , da função F → = y 2 i → + x 2 j → ; sobre a região γ , que é o arco da parábola x = t , y = t 2 e z = 0 , com t variando no intervalo [ 1 ,   2 ] .

Pra isso, precisamos lembrar que a integral de linha pode ser definida pela equação:

∫ γ F → ∙ d r → = ∫ a b F x t ,   y t ,   z ( t ) ∙ r → ' ( t ) d t

Onde r → ' ( t ) é a derivada da parametrização da curva γ e F x t ,   y t ,   z ( t ) é a nossa função vetorial aplicada na parametrização x ( t ) , y ( t ) , z ( t ) .

Nesse caso, a questão foi boazinha e já nos deu a parametrização da curva, que é r → t = ( t ,   t 2 ,   0 ) e o intervalo de integração [ 1 ,   2 ] . Então, vamos apenas substituir tudo na fórmula e calcular nossa integral.

Vamos lá!

Passo 2

Usando as equações paramétricas do passo 1 , vamos derivar nosso vetor r → ( t ) :

r → ' t = ( 1 ,   2 t ,   0 )

Aplicando nossa função F → = y 2 i → + x 2 j → na parametrização, temos:

F x t ,   y t ,   z ( t ) = ( t 2 2 ,   ( t ) 2 ,   0 )

F x t ,   y t ,   z ( t ) = ( t 4 ,   t 2 ,   0 )

Passo 3

Com as informações do passo anterior, vamos montar nossa integral de acordo com a fórmula:

∫ γ F → ∙ d r → = ∫ a b F x t ,   y t ,   z ( t ) ��� r → ' ( t ) d t

= ∫ 1 2 ( t 4 ,   t 2 ,   0 ) ∙ ( 1 ,   2 t ,   0 )   d t

Calculando o produto escalar entre os vetores do integrando, temos:

∫ 1 2 t 4 + 2 t 3   d t

Passo 4

Integrando usando a regrinha da potência ( ∫ x n d x = x n + 1 n + 1 ), temos:

t 5 5 + 2 t 4 4 1 2 = t 5 5 + t 4 2 1 2

Aplicando os limites de integração:

( 2 ) 5 5 + ( 2 ) 4 2 - ( 1 ) 5 5 - ( 1 ) 4 2

= 32 5 + 16 2 - 1 5 - 1 2

31 5 + 15 2 = 62 + 75 10 = 137 10

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

137 10

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Nos exercícios 18 a 25, calcular as integrais curvilíneas dadas:22. ∫ C d x + d y + d z , onde C é a intersecção das superfícies y + z = 5 e z = 4 - x 2 do ponto A ( 2 ,5 ,0 ) ao ponto B ( - 2 ,5 ,0 )
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Determine uma função f tal que F → = ∇ f e Use a parte (a) para calcular ∫ C F → ⋅ d r → sobre a curva C dada. F → x , y = y 2 c o s c o szi → + 2 x y c o szj → - x y 2 s e nz k → ,C : r → t = t 2 i →