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Exercícios Resolvidos de Caso Vetorial no R³

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Enunciado

Stewart, James. Cálculo, volume 2, ed 7ª – Capítulo 16 – Seção 3 – Questão 18

(Cap.16.3 - Exercício 18) (a) Determine uma função f tal que F = ∇ f e (b) use a parte (a) para calcular ∫ c F → ⋅ d r → sobre a curva C dada.

F x , y , z = s e n y i ^ + x c o s y + c o s z j ^ − y s e n z k ^

C : r → t = s e n t i ^ + t j ^ + 2 t k ^ , 0 ≤ t ≤ π 2

Passo 1

Oi galera, tudo bem? Pra mostrar que aquela integral independe do caminho precisamos saber se o campo vetorial F → é conservativo.

Tá, mais se ele for conservativo devemos encontrar a função escalar f . E o por que encontrar essa função escalar? Porque o campo conservativo é aquele que é gradiente de uma função potencial f .

Vamos lembrar quais são as condições para que o campo vetorial seja conservativo.

A primeira coisa que temos que ter é que, o rotacional de F → deve ser nulo. Entretanto, essa é uma condição necessária, mas não suficiente. Uma vez verificado que ∇ × F → = 0 , o próximo passo é buscar verificar a cara de f .

Passo 2

(a) Como o exercício sugere que o campo seja conservativo, vamos direto tentar calcular a função f .

Para isso vamos seguir um passo a passo lógico.

Se ∇ f = F → isso implica que:

∇ f = ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y , ∂ f d z = F →

Logo se para gerar F → tivemos que derivar f , vamos tomar o caminho inverso.

Seja,

∂ f d x = s e n y → f = ∫ s e n y d x = x s e n y + C y , z

Derivando essa função na direção y , temos:

∂ x s e n y + C y , z d y = x c o s y + C ' y , z = ∂ f d y = x c o s y + c o s z

Isso implica que C ' y , z = c o s z → C y , z = y c o s z + C z

Desta forma se derivarmos novamente nossa f na direção z , teremos:

∂ x s e n y + y c o s z + C z d z = − y s e n z + C ' z = ∂ f d z = − y s e n z

Implicando que C ' z = 0 → C z = C , logo nossa f se resume a

f = x s e n y + y c o s z + C

Passo 3

b) Usando a parametrização sugerida no enunciado, temos que:

∫ c F → ⋅ d r → = f x 2 y 2 , z 2 − f x 1 , y 1 , z 1

f x 2 , y 2 , z 2 representa f em t = π 2 , enquanto f x 1 , y 1 , z 1 representa f em t = 0

Assim,

f γ → t = s e n t s e n t + t c o s 2 t

Logo

f t = 0 = 0 e f t = π 2 = 1 − π 2

Com isso temos

∫ c F → ⋅ d r → = 1 − π 2

Tudo certinho? Responde aí

Bora fazer mais questões!

Bons Estudos!

Resposta

f = x s e n y + y c o s z + C

∫ c F → ⋅ d r → = 1 − π 2

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Nos exercícios 18 a 25, calcular as integrais curvilíneas dadas:24. ∫ C y d x + z d y - x y d z , onde C é dada por y = s e nx ; z = 4 ; x ∈ [ 0,2 π ] .
Nos exercícios 18 a 25, calcular as integrais curvilíneas dadas:22. ∫ C d x + d y + d z , onde C é a intersecção das superfícies y + z = 5 e z = 4 - x 2 do ponto A ( 2 ,5 ,0 ) ao ponto B ( - 2 ,5 ,0 )
Calcule ∫ γ d x + x y d y + zd z , onde γ é a interseção de x 2 + y 2 + z 2 = 2 ,x ≥ 0 ,y ≥ 0 e z ≥ 0 , com o plano y = x ; o sentido do percurso é do ponto 0,0 , 2 para 1,1 , 0 .
Calcule a integral de linha ∫ C F → ∙ d r → , onde C é dada pela função vetorial r → t . F → x ,y = x + yi ^ + y - z j ^ + z 2k ^ r → t = t 2i ^ + t 3j ^ + t 2k ^ , 0 ≤ t ≤ 1
Determine uma função f tal que F → = ∇ f e Use a parte (a) para calcular ∫ C F → ⋅ d r → sobre a curva C dada. F → x , y = y 2 c o s c o szi → + 2 x y c o szj → - x y 2 s e nz k → ,C : r → t = t 2 i →