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Exercícios Resolvidos de Caso Vetorial no R³

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Enunciado

Stewart, James. Cálculo, volume 2, ed 7ª – Capítulo 16 – Seção 2 – Questão 42

(Cap.16.2 - Exercício 42) A força exercida pela carga elétrica colocada na origem sobre uma partícula carregada em um ponto x , y , z com vetor posição r → = ⟨ x , y , z ⟩ é F → r → = K r → r → 3 , onde K é uma constante (veja o Exemplo 5 da seção 16.1 ). Encontre o trabalho feito quando a partícula se move ao longo de uma linha reta de 2,0 , 0 a 2,1 , 5 .

Passo 1

Oiii galera, tudo bem?

Bom, inicialmente vamos analisar a questão juntinhos! A questão deseja saber o trabalho feito por uma partícula, certo? Blz. Já temos uma noção bem fundamental que o trabalho nada mais é que o produto da força pelo deslocamento, né? Como na nossa questão a força depende de 3 componentes, então é necessário utilizar os conceitos de campo vetorial e vetor tangente nesse problema, como já viemos fazendo nessa seção.

Vamos relembrar então a fórmula do Trabalho:

W = ∫ C F → ⋅ d r → = ∫ a b F → r → t ⋅ r → ' t d t

Entendido até aqui? Continuemos…

Vemos que na nossa questão precisamos primeiro encontrar o vetor posição r → t para que aí sim possamos encontrar nossa força F → r → , logo precisamos dessas duas informações primordiais para em seguida aplicar a fórmula do trabalho. Ok? Bora lá

Passo 2

Primeiro vamos parametrizar o caminho C . Uma parametrização possível é:

x = 2 ,   y = t ,   z = 5 t ,   0 ≤ t ≤ 1

Pois assim temos que em t = 0 temos o ponto 2,0 , 0 e com t = 1 temos 2,1 , 5 . E assim o vetor r → fica:

r → = 2 i → + t j → + 5 t k →

E o valor de r → 3 é:

r → 3 = 2 2 + t 2 + 5 t 2 3 2 = 4 + 26 t 2 3 2

E o vetor d r → ?

Bom, ele é a derivada de r → :

d r → = 0 i → + j → + 5 k →

E a função F → na nova parametrização?

Saca só:

F → = K ⟨ 2 , t , 5 t ⟩ 4 + 26 t 2 3 2

Passo 3

Beleza! Agora para calcular o trabalho temos:

W = ∫ C F → ⋅ d r → = ∫ 0 1 K ⟨ 2 , t , 5 t ⟩ 4 + 26 t 2 3 2 ⋅ ⟨ 0,1 , 5 ⟩ d t

Pronto! Agora precisamos fazer o produto escalar do integrando e fazer a integral! Vamos lá?

W = K ∫ 0 1 1 4 + 26 t 2 3 2 2.0 + t . 1 + 5 t . 5 d t = K ∫ 0 1 26 t 4 + 26 t 2 3 2 d t

Agora vamos resolver por substituição simples.

Supondo 4 + 26 t 2 como u , então d u 2 = 26 t   d t e assim ficamos com a seguinte integral:

W = − 2.1 2 . 1 4 + 26 t 2 1 2 0 1 = − K 1 30 − 1 2 = K 1 2 − 1 30

Feito! É esse o trabalho realizado!

Bora fazer mais questões?!

Resposta

W = K 1 2 − 1 30

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Nos exercícios 18 a 25, calcular as integrais curvilíneas dadas:22. ∫ C d x + d y + d z , onde C é a intersecção das superfícies y + z = 5 e z = 4 - x 2 do ponto A ( 2 ,5 ,0 ) ao ponto B ( - 2 ,5 ,0 )
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