Provas – Calculo 3 – P2 – questão 9
Considere o campo de vetores e considere a curva parametrizada pela função vetorial com . Calculando a integral
Obtemos:
Passo 1
Faaaaaala, galera... Tranquileba?? Mogli na área 😊. Bora responder Aí essa questão?
A questão nos pede para calcularmos a integral do trabalho
Sim, camarada! Se tomarmos como uma força, sabemos que a integral da força pelo infinitesimal do caminho é:
E isso muda o que? Nada hashuahua, mas foi só por curiosidade.
Enfim, existem diversas formas de calcularmos essa integral, a mais conhecida e geral é parametrizarmos o caminho, e uma vez parametrizado o caminho temos que ver como que o campo de vetores reage à esse caminho parametrizado
Fica melhor colocando a formula, né? Hahaha
Sendo e os limites dados na parametrização de .
Então já temos a faca e o queijo na mão... Vamos lanchar essa questão?!
Bora pro próximo passo?!
Passo 2
Obrigado por vir.
Além da faca e o queijo já temos tudo fatiado, viu só? A parametrização já vem pronta!!!
Então nosso papel é somente aplicar essa parametrização no campo de vetores e derivar a parametrização. Qual prefere primeiro? Pode fazer como quiser, eu prefiro primeiro derivar. Assim:
Lembra da função ? Aqui está ela
Derivando então:
Agora aplicando em . Lembra de ? Aqui está ela:
Aplicando então:
Agora basta a gente aplicar na integral.
Passo 3
Então:
Substituindo:
Aplicando o produto escalar:
Então temos:
Mas o que são e ? São os limites de , eles foram dados no enunciado. Logo:
E bom, agora nos basta calcularmos essa integral.
Passo 4
Temos então:
Sabendo que a integral da soma é a soma das integrais, podemos fazer:
Vamos separá-las em três integrais?
Para a primeira integral :
Podemos fazer uma substituição para deixar isso mais simples, né? Façamos:
Logo:
E lembre-se daqui até sempre: SEMPRE que fizemos uma substituição devemos ver como que os limites reagem a essa troca. Assim:
Assim a nossa integral fica:
Bem mais fácil, né? Integrando em :
Resumindo:
E achamos o valor da nossa primeira integral.
Para a segunda integral :
Podemos deixa-la mais simples, né? Sabemos que , logo:
Como podemos deixar essa integral ainda mais bonita? Substituição, né?! Façamos:
Logo:
E os novos limites:
Assim a nossa integral fica:
Abrindo a fatoração:
Integrando em :
Resumindo:
E achamos o resultado da nossa segunda integral.
Para a terceira e última integral
Essa aqui é a mais simples, integrando em :
E achamos o resultado da nossa integral.
Agora que temos o valor das nossas integrais podemos soma-las todas, vamos ver como fica:
Resultado bem feio, né? Como que podemos deixar isso parecido com alguma coisa que está nas alternativas? Podemos começar colocando o máximo divisor comum para que possamos deixar todos sobre um único divisor. Assim:
E aqui é o máximo que podemos ir próximo dos resultados aparecidos nas alternativas.
Ok, chegamos em um resultado, mas ele bate com algo das alternativas? SIM, IHULL. Ele é a alternativa (b). Lembre-se, se o pensamento todo está correto não tem porque o resultado não estar correto, se ainda assim não bater volte e reveja se não houve nenhum erro de conta ou passagem, mas segue firme convicto no seu resultado
Obrigado por vir até aqui junto comigo!
Resposta
Alternativa b