7. Calcule ∫ γ F → d r → , sendo dados:

a) F → x , y , z = x , y , z e γ t = cos ⁡ t , sin ⁡ t , t , t ∈ 0,2 π .

Passo 1

Iae, como vai? Essa questão está difícil, né? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍

Nesse problema queremos calcular a integral da função vetorial F → x , y , z = x , y , z ao longo do caminho γ t = cos ⁡ t , sin ⁡ t , t em que t ∈ 0,2 π .

Lembra como podemos fazer isso? 🤔

Para calcular uma integral de linha, podemos fazer uma adaptação na integral ∫ γ F → d r → como

∫ γ F → d r → → ∫ a b F → γ t · γ ' t d t

Assim, uma integral vetorial acaba se tornando uma integral escalar... o que certamente facilita muito a nossa vida.

Então o que temos que fazer é aplicar o caminho γ t na função F → , calcular a derivada de γ t e substituir na integral sabendo que t varia entre a e b ...

Parece mais fácil agora? 😉

Passo 2

Se t = cos ⁡ t , sin ⁡ t , t então F → γ t será dado por

F → x , y , z = x , y , z → F → γ t = cos ⁡ t , sin ⁡ t , t

Calculando a derivada de γ t , temos

γ ' t = d cos ⁡ t d t , d sin ⁡ t d t , d t d t

γ ' t = - sin ⁡ t , cos ⁡ t , 1

Substituindo F → γ t e γ ' t na integral sabendo que a = 0 e b = 2 π ...

∫ γ F → d r → = ∫ a b F → γ t · γ ' t d t → ∫ 0 2 π cos ⁡ t , sin ⁡ t , t · - sin ⁡ t , cos ⁡ t , 1 d t

∫ γ F → d r → = ∫ 0 2 π - cos ⁡ t sin ⁡ t + cos ⁡ t sin ⁡ t + t d t

Simplificando...

∫ γ F → d r → = ∫ 0 2 π t d t

Calculando essa integral, temos

∫ t d t = t 2 2

Aplicando os limites de integração

∫ 0 2 π t d t = 2 π 2 2 - 0 2 2

∫ 0 2 π t d t = 2 π 2

Portanto, temos que

∫ γ F → d r → = 2 π 2

E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí

Resposta

∫ γ F → d r → = 2 π 2

Exercícios Resolvidos de Caso Vetorial no R³

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