Stewart, James. Cálculo, volume 2, ed 7ª – Capítulo 16 – Seção 3 – Questão 15
(Capítulo 16.3 – Exercício 15)
(a) Determine uma função tal que e (b)Use a parte (a) para calcular sobre a curva dada.
é o segmento de reta de
Passo 1
Oi galera, tudo bem?
Gente, se o campo vetorial for conservativo podemos encontrar uma função escalar .
E o por que encontrar essa função escalar? Porque o campo conservativo é aquele que é gradiente de uma função potencial .
Então para resolvermos esse exercício, vamos precisar calcular as derivadas parciais da função de acordo com a definição para um campo vetorial de conservação.
Passo 2
Bom, para determinar a função potencial associada ao campo conservativo vamos supor que o campo é:
Vamos primeiro pegar uma das derivadas parciais, por exemplo e integrar em relação à :
Isso vai nos dar a função potencial mais uma constante só de , digamos (pois derivando em relação à ela desaparece, sacou?):
Pronto! Essa é a função potencial!
Tá, mas e aquela função de ali? Calma, no próximo passo vamos determinar ela!
Passo 3
Legal! O próximo passo é derivar a função potencial determinada em relação à :
Tá, mas e agora? Agora olha o pulo do gato! Vamos resgatar do passo a componente do campo dado:
E agora vamos igualar os dois lados!
Beleza! Agora integrando em relação à determinamos a função
E a função potencial é:
Mas agora surgiu mais uma função! Sim, pois ao derivar a função potencial em relação à surge uma constante em . Mas calma! O procedimento é o mesmo! Derivar essa última expressão em relação à , igualar à e depois integrar em relação à ! Vamos lá?
Passo 4
Show! Vamos derivar a função potencial em relação a :
Beleza! E agora comparando com a componente do passo temos:
Agora vamos integrar em :
Agora sim aqui é uma constante mesmo =)
E a função
Passo 5
Show! Agora temos que o ponto final é e a função potencial nesse ponto é:
E no ponto inicial, que é a função vale:
Beleza! Agora sabemos que para um campo conservativo:
É isso! O valor de é !
Tudo certinho? Responde aí
Bora fazer mais questões!
Bons Estudos!