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Exercícios Resolvidos de Caso Vetorial no R³

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Enunciado

UFU, Sem Campus, Cálculo 3, Listas de Cálculo 3 - Profª Lúcia - Lista de Integral de Linha - 2023.1, Questão 7e

7. Calcule ∫ γ F → d r → , sendo dados:

e) F → x , y , z = x 2 , y 2 , z 2 e γ t = 2 cos ⁡ t , 3 sin ⁡ t , t , t ∈ 0 , 2 π .

Passo 1

Iae! Como vai, meu querido? 😁 Bora aprender mais uma questão? 😉

Nesse problema queremos calcular a integral da função vetorial F → x , y , z = x 2 , y 2 , z 2 ao longo do caminho γ t = 2 cos ⁡ t , 3 sin ⁡ t , t em que t ∈ 0 , 2 π .

Lembra como podemos fazer isso? 🤔

Para calcular uma integral de linha, podemos fazer uma adaptação na integral ∫ γ F → d r → como

∫ γ F → d r → → ∫ a b F → γ t · γ ' t d t

Assim, uma integral vetorial acaba se tornando uma integral escalar... o que certamente facilita muito a nossa vida.

Então o que temos que fazer é aplicar o caminho γ t na função F → , calcular a derivada de γ t e substituir na integral sabendo que t varia entre a e b ...

Parece mais fácil agora? 😉

Passo 2

Se γ t = 2 cos ⁡ t , 3 sin ⁡ t , t então F → γ t será dado por

F → x , y , z = x 2 , y 2 , z 2 → F → γ t = 2 cos ⁡ t 2 , 3 sin ⁡ t 2 , t 2

F → γ t = 4 cos 2 ⁡ t , 9 sin 2 ⁡ t , t 2

Calculando a derivada de γ t , temos

γ ' t = d 2 cos ⁡ t d t , d 3 sin ⁡ t d t , d t d t

γ ' t = - 2 sin ⁡ t , 3 cos ⁡ t , 1

Substituindo F → γ t e γ ' t na integral sabendo que a = 0 e b = 2 π ...

∫ γ F → d r → = ∫ a b F → γ t · γ ' t d t → ∫ 0 2 π 4 cos 2 ⁡ t , 9 sin 2 ⁡ t , t 2 · - 2 sin ⁡ t , 3 cos ⁡ t , 1 d t

∫ γ F → d r → = ∫ 0 2 π 8 cos 2 ⁡ t sin ⁡ t + 27 cos ⁡ t sin 2 ⁡ t + t 2 d t

Calculando essa integral, temos

∫ 8 cos 2 ⁡ t sin ⁡ t + 27 cos ⁡ t sin 2 ⁡ t + t 2 d t = - 8 3 cos 3 ⁡ t + 9 sin 3 ⁡ t + t 3 3

Aplicando os limites de integração

∫ 0 2 π 8 cos 2 ⁡ t sin ⁡ t + 27 cos ⁡ t sin 2 ⁡ t + t 2 d t = - 8 3 cos 3 ⁡ 2 π + 9 sin 3 ⁡ 2 π + 2 π 3 3 - - 8 3 cos 3 ⁡ 0 + 9 sin 3 ⁡ 0 + 0 3 3

∫ 0 2 π 8 cos 2 ⁡ t sin ⁡ t + 27 cos ⁡ t sin 2 ⁡ t + t 2 d t = - 8 3 + 8 π 3 3 - - 8 3

∫ 0 2 π 8 cos 2 ⁡ t sin ⁡ t + 27 cos ⁡ t sin 2 ⁡ t + t 2 d t = 8 π 3 3

Portanto, temos que

∫ γ F → d r → = 8 π 3 3

Pegou o esquema? Responde Aí! 😁

Resposta

∫ γ F → d r → = 8 π 3 3

Exercícios de Livros Relacionados

Nos exercícios 18 a 25, calcular as integrais curvilíneas dadas:24. ∫ C y d x + z d y - x y d z , onde C é dada por y = s e nx ; z = 4 ; x ∈ [ 0,2 π ] .
Nos exercícios 18 a 25, calcular as integrais curvilíneas dadas:22. ∫ C d x + d y + d z , onde C é a intersecção das superfícies y + z = 5 e z = 4 - x 2 do ponto A ( 2 ,5 ,0 ) ao ponto B ( - 2 ,5 ,0 )
Calcule ∫ γ d x + x y d y + zd z , onde γ é a interseção de x 2 + y 2 + z 2 = 2 ,x ≥ 0 ,y ≥ 0 e z ≥ 0 , com o plano y = x ; o sentido do percurso é do ponto 0,0 , 2 para 1,1 , 0 .
Calcule a integral de linha ∫ C F → ∙ d r → , onde C é dada pela função vetorial r → t . F → x ,y = x + yi ^ + y - z j ^ + z 2k ^ r → t = t 2i ^ + t 3j ^ + t 2k ^ , 0 ≤ t ≤ 1
Determine uma função f tal que F → = ∇ f e Use a parte (a) para calcular ∫ C F → ⋅ d r → sobre a curva C dada. F → x , y = y 2 c o s c o szi → + 2 x y c o szj → - x y 2 s e nz k → ,C : r → t = t 2 i →