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Exercícios Resolvidos de Caso Vetorial no R³

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Enunciado

UFU, Sem Campus, Cálculo 3, Listas de Cálculo 3 - Profª Lúcia - Lista de Integral de Linha - 2023.1, Questão 9b

9. Uma partícula desloca-se em um campo de forças dado por F → x , y , z = - y , x , z . Ache o trabalho realizado por F → no deslocamento da partícula de γ a até γ b , sendo dados

b) γ t = cos ⁡ t , 0 , sin ⁡ t , a = 0 ; b = 2 π .

Passo 1

Iae, como vai? Essa questão está difícil, né? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍

Nesse problema queremos calcular o trabalho da função vetorial F → x , y , z = - y , x , z ao longo do caminho γ t = cos ⁡ t , 0 , sin ⁡ t em que t ∈ 0 , 2 π .

Lembra como podemos fazer isso? 🤔

Para calcular o trabalho de um campo vetorial ao longo de um caminho podemos calcular como uma integral de linha fazendo

W = ∫ a b F → γ t · γ ' t d t

Assim, uma integral vetorial acaba se tornando uma integral escalar... o que certamente facilita muito a nossa vida.

Então o que temos que fazer é aplicar o caminho γ t na função F → , calcular a derivada de γ t e substituir na integral sabendo que t varia entre a e b ...

Parece mais fácil agora? 😉

Passo 2

Se γ t = cos ⁡ t , 0 , sin ⁡ t então F → γ t será dado por

F → x , y , z = - y , x , z → F → γ t = 0 , cos ⁡ t , sin ⁡ t

Calculando a derivada de γ t , temos

γ ' t = d cos ⁡ t d t , d 0 d t , d sin ⁡ t d t

γ ' t = - sin ⁡ t , 0 , cos ⁡ t

Substituindo F → γ t e γ ' t na integral sabendo que a = 0 e b = 2 π ...

W = ∫ a b F → γ t · γ ' t d t → ∫ 0 2 π 0 , cos ⁡ t , sin ⁡ t · - sin ⁡ t , 0 , cos ⁡ t d t

W = ∫ 0 2 π cos ⁡ t sin ⁡ t d t

Calculando essa integral, temos

∫ cos ⁡ t sin ⁡ t d t = sin 2 ⁡ t 2

Aplicando os limites de integração

∫ 0 2 π cos ⁡ t sin ⁡ t d t = sin 2 ⁡ 2 π 2 - sin 2 ⁡ 0 2

∫ 0 2 π cos ⁡ t sin ⁡ t d t = 0

Portanto, temos que

W = 0   J

E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí

Resposta

W = 0   J

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Nos exercícios 18 a 25, calcular as integrais curvilíneas dadas:22. ∫ C d x + d y + d z , onde C é a intersecção das superfícies y + z = 5 e z = 4 - x 2 do ponto A ( 2 ,5 ,0 ) ao ponto B ( - 2 ,5 ,0 )
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