9 - Para cada equação determine d y d x .

f) x = t g y

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Nós temos uma equação dada por x = t g y e nosso objetivo é calcular a derivada d y d x .

Bem simples a ideia, não é?

Mas então como vamos obter essa derivada? 🤔🤔

A ideia aqui é aplicar o método da derivação implícita. Lembra como é?

Temos uma pequena formula para esse caso

d y d x = - f x f y

Mas pra isso, temos que fazer algumas mudanças na equação

Sacou? Bora ver como é! 😉

Passo 2

A mudança que temos que fazer na equação é transformá-la em uma função. Pra isso, vamos passar todos os termos da equação para um lado só

x = t g y

t g y - x = 0

Dessa forma, considerando uma função f x , y = 0 , temos que

f x , y = t g y - x

Agora podemos começar as derivadas...

Primeiro derivando com relação a x , temos

f x = d t g y - x d x

Como estamos derivando com relação a x , a variável y se comporta como uma constante, então a derivada de t g y é nula.

Já derivando x pelo método da derivação polinomial, temos

f x = 0 - x 1 - 1

f x = - 1

Entendeu essa parte? 😁

Passo 3

Agora derivando a função f com relação a y

f y = d t g y - x d y

Agora é a vez de x se comportar como uma constante e a derivada da tangente é dada pelo teorema fundamental do cálculo.

f y = s e c 2 y - 0

f y = s e c 2 y

Com f x e f y obtidos, podemos substituir na fórmula da derivada implícita

d y d x = - f x f y

d y d x = - - 1 s e c 2 y

Simplificando...

d y d x = 1 s e c 2 y

Lembrando que cos ⁡ x = 1 sec ⁡ x , então

cos ⁡ x = 1 sec ⁡ x → cos ⁡ x 2 = 1 sec ⁡ x 2

1 s e c 2 y = c o s 2 x

Logo...

d y d x = c o s 2 x

E essa é a derivada da equação que estávamos procurando!

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

d y d x = c o s 2 x

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