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Exercícios Resolvidos de Derivação Implícita

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Enunciado

UFPE, Cálculo 2, EE1, 2016.2 , questão 4

Considere que z 3 - x z - y = 0

  1. Encontre ∂ z ∂ y e ∂ z ∂ x
  2. Verifique que

∂ 2 z ∂ x ∂ y = - 3 z 2 + x 3 z 2 - x 3

Passo 1

  1. Derivando a expressão em relação a y :

    2. 3 z 2 ∂ z ∂ y - x ∂ z ∂ y - 1 = 0

    Logo:

    ∂ z ∂ y = 1 3 z 2 - x

    Passo 2

    Derivando a expressão em relação a x :

    3 z 2 ∂ z ∂ x - z - x ∂ z ∂ y = 0

    Logo:

    ∂ z ∂ x = z 3 z 2 - x

    Passo 3

  2. Vamos derivar ∂ z ∂ y em relação a x . Temos:

∂ 2 z ∂ x ∂ y = ∂ 1 3 z 2 - x ∂ x

Porém

∂ 1 3 z 2 - x ∂ x = - 1 3 z 2 - x 2 6 z ∂ z ∂ x - 1

Substituindo ∂ z ∂ x = z 3 z 2 - x , temos:

∂ 1 3 z 2 - x ∂ x = - 1 3 z 2 - x 2 6 z z 3 z 2 - x - 1

Ajeitando:

∂ 1 3 z 2 - x ∂ x = - 1 3 z 2 - x 2 3 z 2 + x 3 z 2 - x = - 3 z 2 + x 3 z 2 - x 3

Logo:

∂ 2 z ∂ x ∂ y = ∂ 1 3 z 2 - x ∂ x = - 3 z 2 + x 3 z 2 - x 3

Resposta

  1. ∂ z ∂ y = 1 3 z 2 - x e ∂ z ∂ x = z 3 z 2 - x

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14. Seja z = t 2 f ( x , y ) , onde x = t 2 e y = t 3 . Expresse d z d t em termos das derivadas parciais de f .
18. Seja g ( x ) uma função diferenciável tal que f x ,g x = 0 , para todo x ∈ D g . Mostre que g ' x = - ∂ f ∂ x x ,g x ∂ f ∂ y x ,g x Para todo x ∈ D g , com ∂ f ∂ y x ,g x ≠ 0 .
Use a derivação implícita para determinar ∂ z / ∂ x e ∂ z / ∂ y . x 2 + y 2 + z 2 = 3 x y z
20. f ( x , y , z ) e g ( x , y ) são funções diferenciáveis tais que, para todo ( x , y ) no domínio de g . f x , y ,g x , y = 0 . Suponha g 1,1 = 3 , ∂ f ∂ x 1,1 , 3 = 2 , ∂ f ∂ y 1,1 , 3 = 5 e ∂ f
Seja f x , y diferenciável em R 2 e tal que para todo ( x , y ) ∂ f ∂ x + ∂ f ∂ y = 0 Verifique que a função g u , v dada por f ( x , y ) , onde x = u + v e y = u é tal que ∂ g ∂ u = 0 .. Conclua que