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Exercícios Resolvidos de Derivação Implícita

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Enunciado

Seja f t ,   t ∈ R , uma função de classe C 1 e a função:

h : R 2 → R

x , y → f x y 2

Determine se é verdadeira ou falsa a afirmativa de que, para todo ponto ( x ,   y ) de R 2 , vale a seguinte relação entre as derivadas parciais de h :

2 x ∙ ∂ h ∂ x x ,   y - y ∙ ∂ h ∂ y x ,   y = 0

Passo 1

Bem... o problema nos pede para testar se vale a relação acima. O que a gente tem que fazer é basicamente calcular aquelas derivadas parciais, e testar para ver se realmente funciona a relação. Bora lá?!

Passo 2

Vamos começar então, calculando essa derivada parcial em relação a x .

Se a gente reparar, vamos perceber que a nossa função

h x , y = f ( x y 2 )

é uma função f com argumento x y 2 , logo, devemos usar a regra da cadeia: derivando a função mais externa e multiplicando pela derivada da interna, que no caso é esse argumento aí. Veja só

∂ h ∂ x x , y = f ' x y 2 ∙ d x y 2 d x

Note que estamos derivando f em relação ao seu argumento e multiplicando pela derivada do argumento em relação a x . Só concluindo a continha, vamos obter

∂ h ∂ x x , y = f ' x y 2 ∙ y 2

Passo 3

Agora calculando de modo muito análogo ao anterior a derivada parcial de h em relação a y , ou seja, deriva a f em relação ao seu argumento e multiplica pela derivado do argumento em relação a y ...

∂ h ∂ y x , y = f ' x y 2 ∙ d x y 2 d y ⇒

∂ h ∂ y x , y = f ' x y 2 ∙ 2 x y

Passo 4

E para finalizar... basta testar ;)

2 x ∙ ∂ h ∂ x x ,   y - y ∙ ∂ h ∂ y x ,   y = 0

Substituindo as nossas derivadas parciais

2 x ∙ f ' x y 2 ∙ y 2 - y ∙ f ' x y 2 ∙ 2 x y = 0 ⇒

2 x ∙ f ' x y 2 ∙ y 2 - 2 x ∙ f ' x y 2 ∙ y 2 = 0 ⇒

0 = 0

Concluímos que a expressão é verdadeira, pois ela realmente se anulou! ;)

Resposta

A relação é verdadeira

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14. Seja z = t 2 f ( x , y ) , onde x = t 2 e y = t 3 . Expresse d z d t em termos das derivadas parciais de f .
18. Seja g ( x ) uma função diferenciável tal que f x ,g x = 0 , para todo x ∈ D g . Mostre que g ' x = - ∂ f ∂ x x ,g x ∂ f ∂ y x ,g x Para todo x ∈ D g , com ∂ f ∂ y x ,g x ≠ 0 .
Use a derivação implícita para determinar ∂ z / ∂ x e ∂ z / ∂ y . x 2 + y 2 + z 2 = 3 x y z
20. f ( x , y , z ) e g ( x , y ) são funções diferenciáveis tais que, para todo ( x , y ) no domínio de g . f x , y ,g x , y = 0 . Suponha g 1,1 = 3 , ∂ f ∂ x 1,1 , 3 = 2 , ∂ f ∂ y 1,1 , 3 = 5 e ∂ f
Seja f x , y diferenciável em R 2 e tal que para todo ( x , y ) ∂ f ∂ x + ∂ f ∂ y = 0 Verifique que a função g u , v dada por f ( x , y ) , onde x = u + v e y = u é tal que ∂ g ∂ u = 0 .. Conclua que