9 - Para cada equação determine dy / dx .

g) x + t * g (x y) = 0

Passo 1

Fala aí!! Bem-vindo! Está tendo um pouco de dificuldades nessa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍

Nessa questão temos uma equação dada por x + t g x y = 0 e nosso objetivo é calcular a derivada d y d x dela.

Como fazemos isso? 🤔🤔

A ideia aqui é usar o método da derivada implícita.

Esse método é dado pela fórmula

d y d x = - f x f y

Mas podemos perceber que f x e f y são derivadas de funções e o que temos é uma equação.

Portanto, considerando uma função f x , y = 0 , podemos dizer que

f x , y =   x + t g x y

O que nos resta agora é derivar f com relação a x e y para substituir nessa formulinha!

Bora? 😎

Passo 2

Primeiro derivando com relação a x , temos

f x = d x + t g x y d x

Como a derivada da soma é igual a soma das derivadas, podemos dizer que

f x = d x d x + d t g x y d x

A derivada de x pode ser obtido pelo método de derivação polinomial

d x d x = x 1 - 1 = 1

Já a derivada de t g x y deve ser obtido pela regra da cadeia já que t g x y é uma função composta.

A regra da cadeia nos diz que a derivada de uma função composta é dada pela derivada da função interna multiplicada pela derivada da função externa (substituindo a função interna por uma variável).

d t g x y d x = d x y d x d t g u d u

Pelo método de derivação polinomial, podemos obter a derivada de x y , mas a derivada da t g u é dada pelo teorema fundamental do cálculo.

d t g x y d x = x 1 - 1 y s e c 2 u

Substituindo u por x y de volta...

d t g x y d x = y s e c 2 x y

Substituindo os resultados em f x , temos

f x = d x d x + d t g x y d x

f x = 1 + y s e c 2 x y

Tranquilo até aqui? 👀

Passo 3

Agora vamos em busca da derivada com relação a y

f y = d x + t g x y d y

Como estamos derivando com relação a y , a variável x se comporta como uma corrente, portanto o termo x isolado da função pode ser ignorado já que sua derivada é nula

f y = d t g x y d y

Novamente caímos na regra da cadeia...

f y = d x y d y d t g u d u

A derivada de x y é obtida pelo método de derivação polinomial e a derivada de t g u já foi calculada no passo anterior, então podemos aplicar o resultado com u já substituído.

f y = x y 1 - 1 s e c 2 x y

f y = x s e c 2 x y

Com f x e f y calculados, vamos substituir na fórmula da derivada implícita

d y d x = - f x f y

d y d x = - 1 + y s e c 2 x y x s e c 2 x y

Simplificando...

d y d x = - 1 + y s e c 2 x y s e c 2 x y x s e c 2 x y s e c 2 x y

d y d x = - 1 s e c 2 x y + y x

Como 1 sec ⁡ x = cos ⁡ x , 1 s e c 2 x y = cos 2 ⁡ x y ...

d y d x = - cos 2 ⁡ x y + y x

E essa é a derivada que estávamos procurando!!

É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌

Resposta

d y d x = - cos 2 ⁡ x y + y x

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