UFCG. Cálculo 1. Lista 2 – Derivadas. Questão 9g.
9 - Para cada equação determine .
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Passo 1
Fala aí!! Bem-vindo! Está tendo um pouco de dificuldades nessa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍
Nessa questão temos uma equação dada por e nosso objetivo é calcular a derivada dela.
Como fazemos isso? 🤔🤔
A ideia aqui é usar o método da derivada implícita.
Esse método é dado pela fórmula
Mas podemos perceber que e são derivadas de funções e o que temos é uma equação.
Portanto, considerando uma função , podemos dizer que
O que nos resta agora é derivar com relação a e para substituir nessa formulinha!
Bora? 😎
Passo 2
Primeiro derivando com relação a , temos
Como a derivada da soma é igual a soma das derivadas, podemos dizer que
A derivada de pode ser obtido pelo método de derivação polinomial
Já a derivada de deve ser obtido pela regra da cadeia já que é uma função composta.
A regra da cadeia nos diz que a derivada de uma função composta é dada pela derivada da função interna multiplicada pela derivada da função externa (substituindo a função interna por uma variável).
Pelo método de derivação polinomial, podemos obter a derivada de , mas a derivada da é dada pelo teorema fundamental do cálculo.
Substituindo por de volta...
Substituindo os resultados em , temos
Tranquilo até aqui? 👀
Passo 3
Agora vamos em busca da derivada com relação a
Como estamos derivando com relação a , a variável se comporta como uma corrente, portanto o termo isolado da função pode ser ignorado já que sua derivada é nula
Novamente caímos na regra da cadeia...
A derivada de é obtida pelo método de derivação polinomial e a derivada de já foi calculada no passo anterior, então podemos aplicar o resultado com já substituído.
Com e calculados, vamos substituir na fórmula da derivada implícita
Simplificando...
Como , ...
E essa é a derivada que estávamos procurando!!
É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌
