Encontre uma equação da reta tangente à curva x^2 - xy - y^2 = 1 no ponto (2,1) .

Passo 1

Falaee, beleza?? Seguinte.. primeiramente, para descobrir a equação da reta tangente, precisamos derivar a curva x 2 - x y - y 2 = 1 ... mas trata-se de uma derivada implícita!!

Assim, a gente sabe que a derivação é implícita quando a variável dependente y não está isolada, certinho?

Dessa forma, a gente deriva os dois lados da igualdade para descobrirmos o resultado da derivada, isolar o y ' e substituir os pontos dados na questão!!

Agora vamos juntos resolver! 😉

Passo 2

Derivando os dois lados da igualdade, temos:

d d x x 2 - x y - y 2 = d d x ( 1 ) ∴

2 x - y - x y ' - 2 y y ' = 0 ∴

y ' = d y d x = 2 x - y x + 2 y

Passo 3

Para o ponto ( 2,1 ) temos a seguinte inclinação:

y ' = 2 ∙ 2 - 1 2 + 2 ∙ 1 = 3 4 = a

Tendo a inclinação, podemos descobrir o ponto e, por consequência, a reta:

y = a x + b ∴

1 = 3 4 ∙ 2 + b ∴

b = - 1 2

Logo, temos a seguinte equação da reta:

y = 3 4 x - 1 2

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

y = 3 4 x - 1 2

Exercícios Resolvidos de Derivação Implícita

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