9 - Para cada equação determine d y d x .

a) x - 1 2 + y 2 = 3

Passo 1

Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎

Nesse problema, temos que calcular a derivada de y com relação a x da equação x - 1 2 + y 2 = 3 .

Pode parecer simples, mas se tentarmos isolar y e calcular pelo método convencional, seria muito complicado.

Mas você sabe algum método que poderia nos ajudar nessa situação? 🤔

Podemos usar o método da derivada implícita, sabe como é?

A ideia é que como queremos calcular d y d x temos uma fórmula que é dada por

d y d y = - f x f y

Ou seja, d y / d x é igual a menos a derivada com relação a x sobre a derivada com relação a y .

Para conseguir calcular f x e f y vamos fazer a equação se transformar em uma função f x , y = 0 .

Entendeu? Bora começar! 😁

Passo 2

Passando todos os termos da equação para um lado só

x - 1 2 + y 2 - 3 = 0

Então se f x , y = 0

f x , y = x - 1 2 + y 2 - 3

O que nos resta é calcular a derivada de f com relação a x e com relação a y .

Primeiro com relação a x

f x = d x - 1 2 + y 2 - 3 d x

y e 3 são constantes para x , então como suas derivadas são nulas, vamos desconsiderá-las

f x = d x - 1 2 d x

Perceba que essa derivada é obtida pela regra da cadeia já que x - 1 2 é uma função composta.

A regra da cadeia é calculada como a derivada de dentro multiplicada pela derivada de fora substituindo a função de dentro por u , lembra?

f x = d x - 1 d x d u 2 d x

Pelo método de derivação polinomial, temos

f x = x 1 - 1 - 0 2 u 2 - 2

f x = 2 u

Substituindo u por x - 1 de volta...

f x = 2 x - 1

Tranquilo até aqui? 👀

Passo 3

Agora vamos obter a derivada de f com relação a y

f y = d x - 1 2 + y 2 - 3 d y

Agora, x e 3 são constantes para y , logo também podemos desconsiderar nessa derivada.

f y = d y 2 d y

Pelo método de derivação polinomial...

f y = 2 y 2 - 1

f y = 2 y

Como a fórmula da derivada implícita no nosso caso é

d y d x = - f x f y

Substituindo os resultados de f x e f y , temos

d y d x = - 2 x - 1 2 y

Simplificando...

d y d x = - x - 1 y

Logo, essa é a derivada de y com relação a x da equação que nos deram.

Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁

Resposta

d y d x = - x - 1 y

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