Encontre uma equação da reta tangente à curva x^2 + y^2 = (2 * x^2 + 2 * y^2 - x)^2 no ponto (0, 1 / 2) .

Passo 1

Falaee, beleza?? Seguinte.. primeiramente, para descobrir a equação da reta tangente, precisamos derivar a curva x 2 + y 2 = 2 x 2 + 2 y 2 - x 2 ... mas trata-se de uma derivada implícita!!

Assim, a gente sabe que a derivação é implícita quando a variável dependente y não está isolada, certinho?

Dessa forma, a gente deriva os dois lados da igualdade para descobrirmos o resultado da derivada, isolar o y ' e substituir os pontos dados na questão!!

Agora vamos juntos resolver! 😉

Passo 2

Derivando os dois lados da igualdade, temos:

d d x x 2 + y 2 = d d x 2 x 2 + 2 y 2 - x 2 ∴

2 x + 2 y y ' = 2 2 x 2 + 2 y 2 - x ∙ ( 4 x + 4 y y ' - 1 )

Passo 3

Para o ponto 0 , 1 2 temos a seguinte inclinação:

0 + y ' = 2 0 + 1 2 - 0 ∙ 0 + 2 y ' - 1 ∴

y ' = 2 y ' - 1 ∴

y ' = 1

Tendo a inclinação, podemos descobrir o ponto e, por consequência, a reta:

y = a x + b ∴

1 2 = 1 ∙ 0 + b ∴

b = 1 2

Logo, temos a seguinte equa��ão da reta:

y = x + 1 2

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

y = x + 1 2

Exercícios Resolvidos de Derivação Implícita

Ver Teoria

Exercícios de Livros Relacionados