UFCG. Cálculo 1. Lista 2 – Derivadas. Questão 9d.
9 - Para cada equação determine .
d)
Passo 1
Iae, como vai? Essa questão está um pouco complicada? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍
Nesse problema foi dado uma equação e foi pedido para que calculássemos a derivada .
Se fossemos tentar isolar para calcular normalmente não íamos conseguir... mas para esses casos podemos aplicar o método da derivação implícita!
Sabe como aplicamos esse método? 🤔🤔
A derivada implícita tem uma formulinha que é dada por
A relação das derivadas se inverte com um sinal negativo na frente.
Mas não confunda achando que e .
Para aplicar esse método, temos que fazer algumas adaptações.
Pronto? Bora por a mão na massa! 😁
Passo 2
Antes de começar as derivações, vamos formar a função que vamos usar para derivar.
Pra isso, vamos passar todos os termos da equação para um lado só
Assim, se fizermos , temos que
Começando as derivações derivando com relação a , temos
Como a derivada da soma é igual a soma das derivadas, temos que
A derivada de é obtido pela regra da cadeia, já que é uma função composta...
A regra da cadeia é dada pela derivada da função de dentro multiplicada pela função de fora (substituindo a função de dentro por uma variável).
Pelo método de derivação polinomial, temos
Voltando para
Já para as derivadas de e , as derivadas são obtidas diretamente pelo método de derivação polinomial
Substituindo esses resultados em , temos
Entendeu essa parte? 😉
Passo 3
Agora vamos obter a derivada com relação a
Nesse caso se comporta como uma constante já que estamos derivando com relação a , portanto podemos ignorar esse termo
Pelo método de derivação polinomial, temos que
Com e obtidos, vamos substitui-los na formulinha da derivada implícita
Simplificando...
E essa é a derivada que estávamos procurando!
E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí
