Determine as derivadas parciais de segunda ordem.

8) f(x, y) = ln(a*x + b*y)

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Nesse problema nosso objetivo é calcular as derivadas parciais de segunda ordem da função f x , y = ln ⁡ a x + b y .

Parece difícil? 🤔

Para calcular a derivada parcial de segunda ordem de uma função em relação a uma variável, consideramos as demais variáveis da função como constantes.

Para calcular as derivadas de segunda ordem calculamos a derivada do resultado que encontramos na primeira.

Sacou? Bora começar! 😬

Passo 2

Primeiro vamos derivar f em função de x

f x = ∂ ln ⁡ a x + b y ∂ x

Pela regra da cadeia, obtemos essa derivada como

f x = ∂ a x + b y ∂ x ∂ ln ⁡ u ∂ u = a 1 u

Simplificando e voltando u para a x + b y

f x = a a x + b y

Agora vamos fazer o mesmo para y pelo mesmo método.

f y = ∂ ln ⁡ a x + b y ∂ y = ∂ a x + b y ∂ y ∂ ln ⁡ u ∂ u

f y = b a x + b y

Tranquilo até aqui? 😉

Passo 3

Agora podemos obter as derivadas de segunda ordem.

Primeiro vamos usar as derivadas de segunda ordem de f x .

Derivando f x com relação a x

f x x = ∂ a a x + b y ∂ x

Essa derivada pode ser calculada a partir da regra do quociente

f x x = ∂ a ∂ x · a x + b y - a · ∂ a x + b y ∂ x a x + b y 2

f x x = 0 · a x + b y - a · a a x + b y 2

f x x = - a 2 a x + b y 2

Agora derivamos f x com relação a y

f x y = ∂ a a x + b y ∂ y

Novamente pela regra do quociente

f x y = ∂ a ∂ y · a x + b y - a · ∂ a x + b y ∂ y a x + b y 2

f x y = 0 · a x + b y - a · b a x + b y 2

f x y = - a b a x + b y 2

Bacana, não é? 😊

Passo 4

Agora vamos fazer as mesmas coisas para f y .

Derivando com relação a x

f y x = ∂ b a x + b y ∂ x

Novamente pela regra do quociente...

f y x = ∂ b ∂ x · a x + b y - b · ∂ a x + b y ∂ x a x + b y 2

f y x = 0 · a x + b y - b · a a x + b y 2

f y x = - a b a x + b y 2

Agora derivamos f y em função de y

f y y = ∂ b a x + b y ∂ y

f y y = ∂ b ∂ y · a x + b y - b · ∂ a x + b y ∂ y a x + b y 2

f y y = 0 · a x + b y - b · b a x + b y 2

f y y = - b 2 a x + b y 2

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

f x x = - a 2 a x + b y 2

f x y = - a b a x + b y 2

f y x = - a b a x + b y 2

f y y = - b 2 a x + b y 2

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