Lista 2.8 – Derivada de função implícita – UFSC – Cálculo 1 – Questão C7
Nenhuma das regras de derivação que vimos até agora é capaz de, diretamente, resolver a derivada de uma função elevada a outra função, por exemplo . Use que para mostrar que
Passo 1
Falaee, beleza??? Vamos devagarinho aqui começando a partir do que a questão nos deu. Temos que:
Queremos confirmar o valor da derivada . Para isso, devemos fazer a derivação implícita, em que derivamos os dois lados da igualdade. Vamos lá!!
Passo 2
Derivando os dois lados da igualdade, temos:
Passo 3
Sabemos que a regra do produto é dada por:
Logo, aplicando a , temos:
O que comprova o resultado do enunciado!!
Entendeu direitinho? Responde aee ;)
Resposta
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14. Seja z = t 2 f ( x , y ) , onde x = t 2 e y = t 3 . Expresse d z d t em termos das derivadas parciais de f .
18. Seja g ( x ) uma função diferenciável tal que f x ,g x = 0 , para todo x ∈ D g . Mostre que g ' x = - ∂ f ∂ x x ,g x ∂ f ∂ y x ,g x Para todo x ∈ D g , com ∂ f ∂ y x ,g x ≠ 0 .
Use a derivação implícita para determinar ∂ z / ∂ x e ∂ z / ∂ y . x 2 + y 2 + z 2 = 3 x y z
20. f ( x , y , z ) e g ( x , y ) são funções diferenciáveis tais que, para todo ( x , y ) no domínio de g . f x , y ,g x , y = 0 . Suponha g 1,1 = 3 , ∂ f ∂ x 1,1 , 3 = 2 , ∂ f ∂ y 1,1 , 3 = 5 e ∂ f
Seja f x , y diferenciável em R 2 e tal que para todo ( x , y ) ∂ f ∂ x + ∂ f ∂ y = 0 Verifique que a função g u , v dada por f ( x , y ) , onde x = u + v e y = u é tal que ∂ g ∂ u = 0 .. Conclua que