Nenhuma das regras de derivação que vimos até agora é capaz de, diretamente, resolver a derivada de uma função elevada a outra função, por exemplo f(x) = x^sen(x) . Use que u^v = e^(v * ln(u)) para mostrar que

u' = u^v * (u'/u + v' * ln(u))

Passo 1

Falaee, beleza??? Vamos devagarinho aqui começando a partir do que a questão nos deu. Temos que:

u v = e v ln ⁡ u  

Queremos confirmar o valor da derivada u v ' . Para isso, devemos fazer a derivação implícita, em que derivamos os dois lados da igualdade. Vamos lá!!

Passo 2

Derivando os dois lados da igualdade, temos:

u v ' = e v ln ⁡ u   ' ∴

u v ' = v ln ⁡ u ' ∙ e v ln ⁡ u  

Passo 3

Sabemos que a regra do produto é dada por:

a ∙ b ' = a b ' + a ' b

Logo, aplicando a v ln ⁡ u ' ∙ e v ln ⁡ u   , temos:

u v ' = v ' ln ⁡ u + v u ' u ∙ u v

O que comprova o resultado do enunciado!!

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

u v ' = v ' ln ⁡ u + v u ' u ∙ u v

Exercícios Resolvidos de Derivação Implícita

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