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Exercícios Resolvidos de Derivação Implícita

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Enunciado

UFSCAR – Cálculo 2 – Banco de Questões – Questão 15

Sabendo que y z = l n ( x + z ) então ∂ z ∂ y   é dado por:

  1. 1 x y + y z - 1
  2. z x + z x y + y z - 1
  3. - 1 x y + y z - 1
  4. - z x + z x y + y z - 1

Passo 1

Fala galera, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas estou aqui para te ajudar! Vamos resolver juntos?

O enunciado deu uma expressão de três variáveis e pediu a derivada de uma delas em relação a outra, isso só tem um cheiro: de DERIVADA IMPLÍCITA!

Como relembrar é viver, a teoria das derivadas implícitas nos diz que dado uma função F x , y , z = 0 , a derivada de z em relação a y é:

∂ z ∂ y = - F y F z

Mas calma, vou fazer com você! Cola aqui e vamos começar!

Passo 2

A função implícita é:

y z = l n ( x + z )

E uma função que englobe essa com tudo de um lado é:

F x , y , z = ln ⁡ x + z - y z

Beleza?

Passo 3

Agora vamos calcular as derivadas parciais:

F x , y , z = ln ⁡ x + z - y z

F y = ∂ ∂ y ln ⁡ x + z - y z = - z

F z = ∂ ∂ z ln ⁡ x + z - y z = 1 x + z - y

E fazendo o mmc e deixando esse último resultado mais simpático:

F z = 1 - y x + z x + z

Passo 4

Agora usando os resultados do passo anterior, vamos colocar na fórmula:

∂ z ∂ y = - F y F z

∂ z ∂ y = - - z 1 - y x + z x + z

Agora vamos fazer alguns passos pra simplificar essa expressão. Primeiro vou fazer a divisão de fração. Em cima temos z / 1 e embaixo 1 - y x + z x + z . O sinal eu vou deixar como está no numerador e trocar o sinal do denominador (já mirando nas respostas kkk)

Conserva a primeira e multiplica pelo inverso da segunda:

∂ z ∂ y = - z 1 . x + z - 1 + y x + z = - z x + z x y + z y - 1

A alternativa correta é (d)

Beleza?

Ufa! Terminamos!

Espero ter te ajudado!

Resposta

( d )

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14. Seja z = t 2 f ( x , y ) , onde x = t 2 e y = t 3 . Expresse d z d t em termos das derivadas parciais de f .
18. Seja g ( x ) uma função diferenciável tal que f x ,g x = 0 , para todo x ∈ D g . Mostre que g ' x = - ∂ f ∂ x x ,g x ∂ f ∂ y x ,g x Para todo x ∈ D g , com ∂ f ∂ y x ,g x ≠ 0 .
Use a derivação implícita para determinar ∂ z / ∂ x e ∂ z / ∂ y . x 2 + y 2 + z 2 = 3 x y z
20. f ( x , y , z ) e g ( x , y ) são funções diferenciáveis tais que, para todo ( x , y ) no domínio de g . f x , y ,g x , y = 0 . Suponha g 1,1 = 3 , ∂ f ∂ x 1,1 , 3 = 2 , ∂ f ∂ y 1,1 , 3 = 5 e ∂ f
Seja f x , y diferenciável em R 2 e tal que para todo ( x , y ) ∂ f ∂ x + ∂ f ∂ y = 0 Verifique que a função g u , v dada por f ( x , y ) , onde x = u + v e y = u é tal que ∂ g ∂ u = 0 .. Conclua que