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Exercícios Resolvidos de Distribuição Poisson

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Enunciado

Distribuição Poisson

O administrador de um hospital estudou o número de emergências cardíacas diárias no seu hospital, ao longo de vários anos e, conclui que elas estão distribuídas de acordo com um modelo de Poisson, com média de três emergências por dia.

  1. Qual é a probabilidade de que, num determinado dia, tenha ocorrido, mais de 2 emergências?
  2. Qual é a probabilidade de que, em dois dias, tenham ocorrido, não mais de três emergências?

Passo 1

Se X : n º   d e   e m e r g ê n c i a s   p o r   d i a .

De acordo com o problema a gente pode dizer que:

X   ~   P o i s s o n   3

Já que a média de emergências por dia é de 3.

Passo 2

(a)

Temos que calcular a probabilidade de acontecer mais de 2 emergências num mesmo dia.

P X > 2 =     ?

Primeira coisa é pensar isso de uma forma diferente...

P X > 2 = 1 - P X ≤ 2 = 1 - P X = 0 + P X = 1 + P X = 2

Prob. de acontecer mais de 2 emergências é igual a 1 menos a probabilidade de não acontecer nenhuma, uma ou até mesmo 2 emergências.

Passo 3

Agora é só aplicar a função de probabilidade da Poisson pra matar isso aí...

P X > 2 = 1 - P X = 0 + P X = 1 + P X = 2

P X = 0 = e - 3 . 3 0 0 ! = e - 3

P X = 1 = e - 3 . 3 1 1 ! = 3 . e - 3

P X = 2 = e - 3 . 3 2 2 ! = 9 2 . e - 3

Terminando isso..

P X > 2 = 1 - e - 3 + 3 e - 3 + 4,5 e - 3

= 1 - 8,5 e - 3

= 0,5768

Passo 4

(b)

Sinal de atenção! Não estamos mais tratando de média por dia, agora são 2 dias. Isso vai mudar tudo..

Se antes a gente tinha 3 emergências por dia, concorda que em 2 dias a média será de 6 emergências?

Sendo assim, se Y : n º   d e   e m e r g ê n c i a s   e m   2   d i a s .

Y   ~   P o i s s o n   ( 6 )

Passo 5

Tá, agora que arrumamos a casa, vamos continuar...

Queremos a probabilidade de acontecerem, não mais que 3 emergências. Isso é o mesmo que dizer que queremos a probabilidade de acontecerem no máximo 3 emergências.

P Y ≤ 3 =     ?

P Y ≤ 3 = P Y = 0 + P Y = 1 + P Y = 2 + P ( Y = 3 )

Passo 6

Vamos aplicar de novo a função de probabilidade da Poisson.

P Y ≤ 3 = P Y = 0 + P Y = 1 + P Y = 2 + P Y = 3

= e - 6 . 6 0 0 ! + e - 6 . 6 1 1 ! + e - 6 . 6 2 2 ! + e - 6 . 6 3 3 !

= e - 6 + 6 . e - 6 + 18 . e - 6 + 36 . e - 6

= 61 e - 6

= 0,1512

Resposta

a   0,5768

b   0,1512

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