UFPE – Estatística – SCH – 2018.2 – Questão 2
Suponha que o número de itens que uma loja vende por dia é uma variável aleatória modelada com uma distribuição Poisson, e que sejam vendidos em média 2 itens por dia. Ao longo de trinta dias, pergunta-se:
- Qual o número esperado de itens vendidos ao final dos trinta dias?
- Em aproximadamente em quantos destes trinta dias, a loja irá vender pelo menos um item?
- Em aproximadamente quantos destes trinta dias, a loja irá vender no máximo dois itens?
Passo 1
Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos diz que as vendas de uma determinada loja (em que as vendas é uma variável aleatória) é dada de acordo com a distribuição de Poisson, e que em média são vendidos 2 itens por dia.
Nesse sentido, queremos saber o número esperado de itens vendidos com o passar de dias.
Também, queremos saber em quantos dias a loja venderá pelo menos um item e, também, no máximo dois itens.
Não entendeu? Então bora junto aqui!!
Passo 2
Vamos começar aqui com a letra a).
Bom... seja a variável aleatória que representa o número de itens que a loja vende nos 30 dias.
Sendo assim, considerando que a média vendida é de itens por dia, através de uma regra de 3, podemos dizer que no mês temos:
itens no mês
Por definição, sabe-se que, em uma distribuição de Poisson, o valor esperado para um período é igual a média, ou seja:
Passo 3
Agora, na letra b), temos que considerar primeiramente a probabilidade de em um dia serem vendidos pelo menos item, ou seja, .
Essa expressão é dada a seguir:
Em que é dada pela distribuição de Poisson:
Portanto:
Passo 4
Dessa forma, seja a variável aleatória que representa o número de dias em que a loja venda pelo menos 1 item.
Como pode-se perceber, é uma variável aleatória do tipo binomial, com sendo a probabilidade de sucesso e o tamanho da amostra.
Sabendo disso, deseja-se saber o valor esperado de dias em que serão vendidos pelo menos 1 item.
Por definição, o valor esperado de uma distribuição binomial está dado a seguir:
Passo 5
Agora, vamos para a letra c).
Seja agora a variável aleatória que representa o número de dias em um mês nos quais a loja vende até 2 itens.
Primeiramente, determinamos a probabilidade diária de ocorrência de tal evento a seguir:
Dessa forma, de forma análoga ao caso anterior, calcula-se a esperança de para e :
Entendeu direitinho? Responde aee ;)
